Considere as seguintes retas:
Obtenha uma equação geral do plano que contém e é paralelo à .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são duas retas no espaço tridimensional:
O objetivo é encontrar a equação geral de um plano que contenha a reta e seja paralelo à reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados a retas e planos no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como estão representadas as retas e . As equações estão na forma de equações paramétricas, onde cada fração representa uma direção da reta.
Para a reta :
Podemos associar isso a um parâmetro , ficando:
A partir disso, identificamos um ponto na reta , que é , e o vetor diretor da reta , que é .
Para a reta :
Associando a um parâmetro , temos:
Aqui, um ponto na reta pode ser qualquer ponto que satisfaça essas equações, por exemplo, quando , e o vetor diretor de é .

Passo 3

Agora, queremos o plano que contém e é paralelo a . Para isso, precisamos de um vetor normal ao plano. Sabemos que o plano é determinado por dois vetores que estão dentro dele. Como a reta está no plano, o vetor diretor de , , está no plano. Além disso, como o plano é paralelo a , o vetor diretor de , , também deve estar no plano.
Para encontrar o vetor normal ao plano, calculamos o produto vetorial entre e :
Vamos calcular isso:
O produto vetorial é:

Passo 4

Com o vetor normal e sabendo que o plano contém o ponto da reta , podemos escrever a equação do plano usando a forma geral:
Onde é o ponto conhecido no plano. Substituindo:
Simplificando:
Podemos dividir todos os termos por 7 para simplificar ainda mais:

Resposta

A equação geral do plano que contém a reta e é paralelo à reta é:

Exercícios relacionados

Questão 4 (2,0 pontos). Obtenha as equações paramétricas de que contém e é perpendicular à reta que contém e .
Questão (2,5 pontos). Considere os planos:

b) Determine as equações paramétricas da reta que passa no ponto e é paralela aos planos e .
Considere as seguintes retas:
Estude a posição relativa entre e .
Determinar o vetor , ortogonal ao eixo , sendo e .