Obtenha uma equação geral do plano que contém e é paralelo à .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são duas retas no espaço tridimensional:
O objetivo é encontrar a equação geral de um plano que contenha a reta e seja paralelo à reta . Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados a retas e planos no espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como estão representadas as retas e . As equações estão na forma de equações paramétricas, onde cada fração representa uma direção da reta.
Para a reta :
Podemos associar isso a um parâmetro , ficando:
A partir disso, identificamos um ponto na reta , que é , e o vetor diretor da reta , que é .
Para a reta :
Associando a um parâmetro , temos:
Aqui, um ponto na reta pode ser qualquer ponto que satisfaça essas equações, por exemplo, quando , e o vetor diretor de é .
Passo 3
Agora, queremos o plano que contém e é paralelo a . Para isso, precisamos de um vetor normal ao plano. Sabemos que o plano é determinado por dois vetores que estão dentro dele. Como a reta está no plano, o vetor diretor de , , está no plano. Além disso, como o plano é paralelo a , o vetor diretor de , , também deve estar no plano.
Para encontrar o vetor normal ao plano, calculamos o produto vetorial entre e :
Vamos calcular isso:
O produto vetorial é:
n = i(12 - 5) - j(12 - 5) + k(3 - 3) n = i(7) - j(7) + k(0) n = (7, -7, 0)
Passo 4
Com o vetor normal n = (7, -7, 0) e sabendo que o plano contém o ponto (1, 5, -2) da reta r, podemos escrever a equação do plano usando a forma geral:
n cdot (x - x0, y - y0, z - z0) = 0
Onde (x0, y0, z0) é o ponto conhecido no plano. Substituindo:
7(x - 1) - 7(y - 5) + 0(z + 2) = 0
Simplificando:
7x - 7 - 7y + 35 + 0 = 0 7x - 7y + 28 = 0
Podemos dividir todos os termos por 7 para simplificar ainda mais:
x - y + 4 = 0
Resposta
A equação geral do plano que contém a reta r e é paralelo à reta s é: