Considere as seguintes retas:
r: x-13=y-53=z+25 e s: 2 x=2 y=z-12
Obtenha uma equação geral do plano que contém r e é paralelo à s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui são duas retas no espaço tridimensional:
r: x-13=y-53=z+25 e s: 2x=2y=z-12
O objetivo é encontrar a equação geral de um plano que contenha a reta r e seja paralelo à reta s. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica relacionados a retas e planos no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como estão representadas as retas r e s. As equações estão na forma de equações paramétricas, onde cada fração representa uma direção da reta.
Para a reta r:
x-13 = y-53 = z+25
Podemos associar isso a um parâmetro t, ficando:
x = 1 + 3t y = 5 + 3t z = -2 + 5t
A partir disso, identificamos um ponto na reta r, que é (1, 5, -2), e o vetor diretor da reta r, que é vr = (3, 3, 5).
Para a reta s:
2x = 2y = z-12
Associando a um parâmetro k, temos:
x = k y = k z = 1 + 4k
Aqui, um ponto na reta s pode ser qualquer ponto que satisfaça essas equações, por exemplo, (0, 0, 1) quando k=0, e o vetor diretor de s é vs = (1, 1, 4).

Passo 3

Agora, queremos o plano que contém r e é paralelo a s. Para isso, precisamos de um vetor normal ao plano. Sabemos que o plano é determinado por dois vetores que estão dentro dele. Como a reta r está no plano, o vetor diretor de r, vr, está no plano. Além disso, como o plano é paralelo a s, o vetor diretor de s, vs, também deve estar no plano.
Para encontrar o vetor normal ao plano, calculamos o produto vetorial entre vr e vs:
n = vr times vs
Vamos calcular isso:
vr = (3, 3, 5) vs = (1, 1, 4)
O produto vetorial é:
n = i & j & k 3 & 3 & 5 1 & 1 & 4 = i(3 cdot 4 - 5 cdot 1) - j(3 cdot 4 - 5 cdot 1) + k(3 cdot 1 - 3 cdot 1)
n = i(12 - 5) - j(12 - 5) + k(3 - 3) n = i(7) - j(7) + k(0) n = (7, -7, 0)

Passo 4

Com o vetor normal n = (7, -7, 0) e sabendo que o plano contém o ponto (1, 5, -2) da reta r, podemos escrever a equação do plano usando a forma geral:
n cdot (x - x0, y - y0, z - z0) = 0
Onde (x0, y0, z0) é o ponto conhecido no plano. Substituindo:
7(x - 1) - 7(y - 5) + 0(z + 2) = 0
Simplificando:
7x - 7 - 7y + 35 + 0 = 0 7x - 7y + 28 = 0
Podemos dividir todos os termos por 7 para simplificar ainda mais:
x - y + 4 = 0

Resposta

A equação geral do plano que contém a reta r e é paralelo à reta s é:
x - y + 4 = 0

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