Os pontos e C são vértices de um triângulo equilátero cujo lado mede 20 cm . Calcular e AB cdot CA.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo equilátero ABC, onde cada lado mede 20 cm. Queremos encontrar os vetores AB, AC e o produto escalar AB cdot CA. Pra isso, vamos usar conceitos de geometria e álgebra vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o triângulo no plano cartesiano pra facilitar. Vamos colocar o ponto A na origem, ou seja, A(0, 0). Como o triângulo é equilátero, os pontos B e C vão estar a 20 cm de A e formam um ângulo de 60 graus entre eles.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas dos pontos B e C. Vamos posicionar o ponto B no eixo x. Então, as coordenadas de B serão B(20, 0). Para encontrar as coordenadas de C, lembramos que num triângulo equilátero, a altura é 20 cdot sin(60^circ) = 20 cdot raiz32 = 10raiz3. Então, as coordenadas de C são C(10, 10raiz3).
Passo 4
Com as coordenadas dos pontos, podemos determinar os vetores AB e AC. O vetor AB vai de A para B, então:
AB = (20 - 0, 0 - 0) = (20, 0)
Já o vetor AC vai de A para C:
AC = (10 - 0, 10raiz3 - 0) = (10, 10raiz3)
Passo 5
Para encontrar o produto escalar AB cdot CA, primeiro precisamos do vetor CA, que é o vetor de C para A. Isso é o oposto do vetor AC:
CA = (-10, -10raiz3)
Agora, o produto escalar entre AB = (20, 0) e CA = (-10, -10raiz3) é calculado assim:
AB cdot CA = (20)(-10) + (0)(-10raiz3) = -200 + 0 = -200
Resposta
Os vetores são AB = (20, 0), AC = (10, 10raiz3) e o produto escalar AB cdot CA = -200.