Os pontos e C são vértices de um triângulo equilátero cujo lado mede 20 cm . Calcular e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um triângulo equilátero ABC, onde cada lado mede 20 cm. Queremos encontrar os vetores , e o produto escalar . Pra isso, vamos usar conceitos de geometria e álgebra vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o triângulo no plano cartesiano pra facilitar. Vamos colocar o ponto A na origem, ou seja, A(0, 0). Como o triângulo é equilátero, os pontos B e C vão estar a 20 cm de A e formam um ângulo de 60 graus entre eles.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as coordenadas dos pontos B e C. Vamos posicionar o ponto B no eixo x. Então, as coordenadas de B serão B(20, 0). Para encontrar as coordenadas de C, lembramos que num triângulo equilátero, a altura é . Então, as coordenadas de C são C(10, 10).
Passo 4
Com as coordenadas dos pontos, podemos determinar os vetores e . O vetor vai de A para B, então:
Já o vetor vai de A para C:
Passo 5
Para encontrar o produto escalar , primeiro precisamos do vetor , que é o vetor de C para A. Isso é o oposto do vetor :
Agora, o produto escalar entre e é calculado assim: