Questão 4 (2,0 pontos). Obtenha as equações paramétricas de s que contém P=(1,1,1) e é perpendicular à reta r que contém A=(0,0,1) e B=(0,-1,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta quer que a gente encontre as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que é perpendicular à reta que passa pelos pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, como vetores diretores e condições de perpendicularidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta r = B - A = (0 - 0, -1 - 0, 0 - 1) = (0, -1, -1) . A reta passa pelos pontos e , então o vetor diretor pode ser calculado subtraindo as coordenadas de de :
Então, .

Passo 3

Agora, queremos que a reta r cdot s = 0 seja perpendicular à reta 0 cdot a + (-1) cdot b + (-1) cdot c = 0 Rightarrow -b - c = 0 Rightarrow b = -c . Para isso, o vetor diretor da reta , que vamos chamar de , precisa ser perpendicular a . A condição de perpendicularidade entre dois vetores é que o produto escalar entre eles seja zero:
Vamos supor que . Então:
Isso nos dá uma relação entre e .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor que não apenas satisfaz , mas também garante que a reta passe pelo ponto e seja perpendicular à reta .
Para encontrar o vetor , vamos determinar o ponto de interseção mais próximo da reta com a reta . Esse ponto será onde a reta cruza de forma perpendicular.

Passo 5

Vamos chamar o ponto de interseção de x = 0 y = 0 - t z = 1 - t . Assim, está na reta e a reta vai de até . O vetor será, então, o vetor diretor .
Primeiro, parametrizamos a reta . Sabemos que está em e o vetor diretor é . Então, as equações paramétricas de são:
Onde é o parâmetro.

Passo 6

O ponto PQ = Q - P = (0 - 1, -t - 1, (1 - t) - 1) = (-1, -t - 1, -t) na reta PQ cdot r = 0 pode ser escrito como (-1)(0) + (-t - 1)(-1) + (-t)(-1) = 0 0 + t + 1 + t = 0 2t + 1 = 0 t = -12 . O vetor é então:
Esse vetor deve ser perpendicular ao vetor diretor :
Então:

Passo 7

Agora que encontramos Q = (0, -(-12), 1 - (-12)) = (0, 12, 32) , podemos encontrar as coordenadas de PQ = Q - P = (0 - 1, 12 - 1, 32 - 1) = (-1, -12, 12) :
O vetor é então:

Passo 8

Agora, temos o ponto x = 1 - t y = 1 - 12t z = 1 + 12t e o vetor diretor . As equações paramétricas da reta são então:

Resposta

As equações paramétricas da reta x = 1 - t y = 1 - dfrac12t z = 1 + dfrac12t são:

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