Questão 4 (2,0 pontos). Obtenha as equações paramétricas de que contém e é perpendicular à reta que contém e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta quer que a gente encontre as equações paramétricas de uma reta que passa pelo ponto e que é perpendicular à reta que passa pelos pontos e . Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, como vetores diretores e condições de perpendicularidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta . A reta passa pelos pontos e , então o vetor diretor pode ser calculado subtraindo as coordenadas de de :
Então, .
Passo 3
Agora, queremos que a reta seja perpendicular à reta . Para isso, o vetor diretor da reta , que vamos chamar de , precisa ser perpendicular a . A condição de perpendicularidade entre dois vetores é que o produto escalar entre eles seja zero:
Vamos supor que . Então:
Isso nos dá uma relação entre e .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o vetor que não apenas satisfaz , mas também garante que a reta passe pelo ponto e seja perpendicular à reta .
Para encontrar o vetor , vamos determinar o ponto de interseção mais próximo da reta com a reta . Esse ponto será onde a reta cruza de forma perpendicular.
Passo 5
Vamos chamar o ponto de interseção de . Assim, está na reta e a reta vai de até . O vetor será, então, o vetor diretor .
Primeiro, parametrizamos a reta . Sabemos que está em e o vetor diretor é . Então, as equações paramétricas de são:
Onde é o parâmetro.
Passo 6
O ponto na reta pode ser escrito como . O vetor é então:
Esse vetor deve ser perpendicular ao vetor diretor :
Então:
Passo 7
Agora que encontramos , podemos encontrar as coordenadas de :
O vetor é então:
Passo 8
Agora, temos o ponto e o vetor diretor . As equações paramétricas da reta são então: