Questão 4 (2,0 pontos). Obtenha as equações paramétricas de
que contém
e é perpendicular à reta
que contém
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta quer que a gente encontre as equações paramétricas de uma reta
que passa pelo ponto
e que é perpendicular à reta
que passa pelos pontos
e
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria vetorial, como vetores diretores e condições de perpendicularidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta
. A reta
passa pelos pontos
e
, então o vetor diretor
pode ser calculado subtraindo as coordenadas de
de
:
Então,
.
Passo 3
Agora, queremos que a reta
seja perpendicular à reta
. Para isso, o vetor diretor da reta
, que vamos chamar de
, precisa ser perpendicular a
. A condição de perpendicularidade entre dois vetores é que o produto escalar entre eles seja zero:
Vamos supor que
. Então:
Isso nos dá uma relação entre
e
.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o vetor
que não apenas satisfaz
, mas também garante que a reta
passe pelo ponto
e seja perpendicular à reta
.
Para encontrar o vetor
, vamos determinar o ponto de interseção mais próximo da reta
com a reta
. Esse ponto será onde a reta
cruza
de forma perpendicular.
Passo 5
Vamos chamar o ponto de interseção de
. Assim,
está na reta
e a reta
vai de
até
. O vetor
será, então, o vetor diretor
.
Primeiro, parametrizamos a reta
. Sabemos que
está em
e o vetor diretor é
. Então, as equações paramétricas de
são:
Onde
é o parâmetro.
Passo 6
O ponto
na reta
pode ser escrito como
. O vetor
é então:
Esse vetor deve ser perpendicular ao vetor diretor
:
Então:
Passo 7
Agora que encontramos
, podemos encontrar as coordenadas de
:
O vetor
é então:
Passo 8
Agora, temos o ponto
e o vetor diretor
. As equações paramétricas da reta
são então:
Resposta
As equações paramétricas da reta
são: