Determinar o vetor , ortogonal ao eixo , sendo e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar um vetor que seja ortogonal ao eixo (o eixo y), e que satisfaça as condições e , onde e . Estamos trabalhando com álgebra vetorial, e vamos precisar entender conceitos de vetores ortogonais e produto escalar para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser ortogonal ao eixo . Um vetor ser ortogonal a quer dizer que ele forma um ângulo de 90 graus com esse eixo. No sistema de coordenadas, o eixo é representado pelo vetor unitário . Para que seja ortogonal a , o produto escalar entre eles deve ser zero:

Passo 3

Vamos assumir que o vetor tem componentes . Com a condição de ortogonalidade estabelecida, temos:
Portanto, a coordenada y de é zero. Agora, fica reduzido para .

Passo 4

Agora, vamos usar as outras duas condições do problema:
Substituindo , temos:

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de x e z.

Passo 6

Primeiro, vamos resolver a segunda equação para uma das variáveis. Vamos isolar z:
Agora, substituímos esse valor de z na primeira equação:
Expandindo:

Passo 7

Agora que temos o valor de x, podemos encontrar z usando a equação que encontramos:

Passo 8

Com os valores de x e z encontrados, podemos escrever o vetor :

Resposta

O vetor que satisfaz as condições do exercício é:

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