Determinar o vetor v, ortogonal ao eixo Oy, v cdot v1=8 e v cdot v2=-3, sendo v1=(3,1,-2) e v2=(-1,1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar um vetor v que seja ortogonal ao eixo Oy (o eixo y), e que satisfaça as condições v cdot v1=8 e v cdot v2=-3, onde v1=(3,1,-2) e v2=(-1,1,1). Estamos trabalhando com álgebra vetorial, e vamos precisar entender conceitos de vetores ortogonais e produto escalar para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ser ortogonal ao eixo Oy. Um vetor ser ortogonal a Oy quer dizer que ele forma um ângulo de 90 graus com esse eixo. No sistema de coordenadas, o eixo Oy é representado pelo vetor unitário ey = (0,1,0). Para que v seja ortogonal a Oy, o produto escalar entre eles deve ser zero:
v cdot ey = 0

Passo 3

Vamos assumir que o vetor v tem componentes (x, y, z). Com a condição de ortogonalidade estabelecida, temos:
v cdot ey = x cdot 0 + y cdot 1 + z cdot 0 = y = 0
Portanto, a coordenada y de v é zero. Agora, v fica reduzido para (x, 0, z).

Passo 4

Agora, vamos usar as outras duas condições do problema:
v cdot v1 = 8 e v cdot v2 = -3
Substituindo v = (x, 0, z), temos:
(x, 0, z) cdot (3,1,-2) = 3x + 0 cdot 1 + (-2)z = 3x - 2z = 8
(x, 0, z) cdot (-1,1,1) = -x + 0 cdot 1 + z = -x + z = -3

Passo 5

Agora, temos um sistema de equações com duas incógnitas:
3x - 2z = 8 -x + z = -3
Vamos resolver esse sistema para encontrar os valores de x e z.

Passo 6

Primeiro, vamos resolver a segunda equação para uma das variáveis. Vamos isolar z:
-x + z = -3 implies z = x - 3
Agora, substituímos esse valor de z na primeira equação:
3x - 2(x - 3) = 8
Expandindo:
3x - 2x + 6 = 8 implies x + 6 = 8 implies x = 2

Passo 7

Agora que temos o valor de x, podemos encontrar z usando a equação que encontramos:
z = x - 3 = 2 - 3 = -1

Passo 8

Com os valores de x e z encontrados, podemos escrever o vetor v:
v = (x, 0, z) = (2, 0, -1)

Resposta

O vetor v que satisfaz as condições do exercício é:
v = (2, 0, -1)

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