Questão (2,5 pontos). Considere os planos:
b) Determine as equações paramétricas da reta que passa no ponto e é paralela aos planos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e é paralela aos planos e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e geometria analítica, como normas de planos e vetores paralelos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os vetores normais dos planos e . O vetor normal de um plano é perpendicular a ele.
Para o plano , o vetor normal é simplesmente os coeficientes de , e na equação do plano. Como não temos na equação, o coeficiente é 0. Assim:
Para o plano , que está dado de forma paramétrica, podemos encontrar o vetor normal fazendo o produto vetorial dos vetores diretores do plano. Os vetores diretores são e .
Calculando o produto vetorial :
Passo 3
Agora, para a reta ser paralela aos dois planos, seu vetor diretor precisa ser perpendicular aos vetores normais dos planos e . Isso significa que o produto escalar de com e com deve ser zero:
Vamos chamar . Então, temos o sistema:
Passo 4
Vamos resolver o sistema de equações:
Da equação (1):
Substituindo esse resultado na equação (2):
Então, temos:
Podemos escolher (já que a direção é determinada até uma constante multiplicativa). Assim:
Passo 5
Agora que temos o vetor diretor da reta como e sabemos que ela passa pelo ponto , podemos escrever as equações paramétricas da reta: