Questão (2,5 pontos). Considere os planos:

b) Determine as equações paramétricas da reta que passa no ponto e é paralela aos planos e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e é paralela aos planos e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e geometria analítica, como normas de planos e vetores paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais dos planos e . O vetor normal de um plano é perpendicular a ele.
Para o plano , o vetor normal é simplesmente os coeficientes de , e na equação do plano. Como não temos na equação, o coeficiente é 0. Assim:
Para o plano , que está dado de forma paramétrica, podemos encontrar o vetor normal fazendo o produto vetorial dos vetores diretores do plano. Os vetores diretores são e .
Calculando o produto vetorial :

Passo 3

Agora, para a reta ser paralela aos dois planos, seu vetor diretor precisa ser perpendicular aos vetores normais dos planos e . Isso significa que o produto escalar de com e com deve ser zero:
Vamos chamar . Então, temos o sistema:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações:
Da equação (1):
Substituindo esse resultado na equação (2):
Então, temos:
Podemos escolher (já que a direção é determinada até uma constante multiplicativa). Assim:

Passo 5

Agora que temos o vetor diretor da reta como e sabemos que ela passa pelo ponto , podemos escrever as equações paramétricas da reta:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:

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Questão (2,5 pontos). Considere os planos:

a) Estude a posição relativa entre os planos.
Questão 3 (3,0 pontos). Considere a seguintes retas
a)Determine o ponto de interseção .
Questão 4 (2,0 pontos). Obtenha as equações paramétricas de que contém e é perpendicular à reta que contém e .
Considere as seguintes retas:
Obtenha uma equação geral do plano que contém e é paralelo à .