Questão 2 (2,5 pontos). Considere os planos:
pi: x-y+2=0 alpha:(x, y, z)=(1,-2,1)+t(-1,-1,0)+k(3,5,7) (t, k in R)
b) Determine as equações paramétricas da reta r que passa no ponto A=(0,0,0) e é paralela aos planos pi e alpha.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto e é paralela aos planos e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e geometria analítica, como normas de planos e vetores paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais dos planos npi = (1, -1, 0) e nalpha = i & j & k -1 & -1 & 0 3 & 5 & 7 = i(-1 cdot 7 - 0 cdot 5) - j(-1 cdot 7 - 0 cdot 3) + k(-1 cdot 5 - (-1) cdot 3) . O vetor normal de um plano é perpendicular a ele.
Para o plano nalpha = (-7, 7, -2) , o vetor normal é simplesmente os coeficientes de , e na equação do plano. Como não temos na equação, o coeficiente é 0. Assim:
Para o plano , que está dado de forma paramétrica, podemos encontrar o vetor normal fazendo o produto vetorial dos vetores diretores do plano. Os vetores diretores são e .
Calculando o produto vetorial :

Passo 3

Agora, para a reta v cdot npi = 0 v cdot nalpha = 0 ser paralela aos dois planos, seu vetor diretor vx - vy = 0 (1) -7vx + 7vy - 2vz = 0 (2) precisa ser perpendicular aos vetores normais dos planos e . Isso significa que o produto escalar de com e com deve ser zero:
Vamos chamar . Então, temos o sistema:

Passo 4

Vamos resolver o sistema de equações:
Da equação (1):
vx = vy
Substituindo esse resultado na equação (2):
-7vx + 7vx - 2vz = 0 0 - 2vz = 0 vz = 0
Então, temos:
vx = vy vz = 0
Podemos escolher v = (1, 1, 0) (já que a direção é determinada até uma constante multiplicativa). Assim:

Passo 5

Agora que temos o vetor diretor da reta x = 0 + 1 cdot t y = 0 + 1 cdot t z = 0 + 0 cdot t onde t in R como e sabemos que ela passa pelo ponto , podemos escrever as equações paramétricas da reta:

Resposta

As equações paramétricas da reta x = t y = t z = 0 com t in R são:

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