alpha: 2 x-y+z=1 beta:-y+3 z=4 pi:l x=2 lambda-mu y=lambda+mu+1 ; lambda, mu in R z=1-lambda
Determine a posição relativa, o ângulo e a distância entre os seguintes pares de objetos: m e s
Passo 1
Beleza, vamos entender qual é a parada aqui. Temos duas retas, a m e a s, e precisamos descobrir:
Posição Relativa: Elas são paralelas, coincidentes ou se cruzam?
Ângulo entre elas: Qual é o ângulo formado pelas duas retas?
Distância entre elas: Se forem paralelas, qual a distância entre elas?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica envolvendo vetores diretores das retas e fórmulas de ângulo e distância entre retas.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações das retas m e s de forma paramétrica para identificar os vetores diretores e um ponto em cada reta.
Reta m:
x = 1 - t y = 2 + t z = 3 , t in R
Aqui, o vetor diretor da reta m é dm = (-1, 1, 0).
Reta s:
x + y = 3 z = 2
Vamos reescrever a reta s em forma paramétrica. Podemos escolher um parâmetro, por exemplo, y = t.
Então:
x = 3 - t y = t z = 2 , t in R
O vetor diretor da reta s é ds = (-1, 1, 0).
Passo 3
Posição Relativa:
Para ver se as retas são paralelas, coincidentes ou se intersectam, comparamos os vetores diretores.
Vetor diretor de m: dm = (-1, 1, 0)
Vetor diretor de s: ds = (-1, 1, 0)
Como os vetores diretores são iguais, as retas são paralelas ou coincidentes.
Agora, para saber qual delas é, verificamos se existe um ponto comum.
Vamos pegar um ponto na reta m, por exemplo, quando t=0: (1, 2, 3)
E verificar se esse ponto pertence à reta s:
x + y = 1 + 2 = 3 e z = 3 neq 2
Como z não coincide, as retas são paralelas.
Passo 4
Ângulo entre as retas:
Como as retas são paralelas, o ângulo entre elas é 0^circ ou 180^circ, dependendo da orientação dos vetores diretores.