Considere as seguintes retas:
c t:l 2 x-y+z=3 4 x+z=1 m:l x=1-t y=2+t z=3 , t in R n:l x-2=y+12 r: x+72=y2=z+2-1 s:l x+y=3 z=2 l 2 x+2 y-z=7
E os planos
alpha: 2 x-y+z=1 beta:-y+3 z=4 pi:l x=2 lambda-mu y=lambda+mu+1 ; lambda, mu in R z=1-lambda
Determine a posição relativa, o ângulo e a distância entre os seguintes pares de objetos:
m e s

Passo 1

Beleza, vamos entender qual é a parada aqui. Temos duas retas, a m e a s, e precisamos descobrir:
  1. Posição Relativa: Elas são paralelas, coincidentes ou se cruzam?
  2. Ângulo entre elas: Qual é o ângulo formado pelas duas retas?
  3. Distância entre elas: Se forem paralelas, qual a distância entre elas?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica envolvendo vetores diretores das retas e fórmulas de ângulo e distância entre retas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das retas m e s de forma paramétrica para identificar os vetores diretores e um ponto em cada reta.
Reta m:
x = 1 - t y = 2 + t z = 3 , t in R
Aqui, o vetor diretor da reta m é dm = (-1, 1, 0).
Reta s:
x + y = 3 z = 2
Vamos reescrever a reta s em forma paramétrica. Podemos escolher um parâmetro, por exemplo, y = t.
Então:
x = 3 - t y = t z = 2 , t in R
O vetor diretor da reta s é ds = (-1, 1, 0).

Passo 3

Posição Relativa:
Para ver se as retas são paralelas, coincidentes ou se intersectam, comparamos os vetores diretores.
Vetor diretor de m: dm = (-1, 1, 0)
Vetor diretor de s: ds = (-1, 1, 0)
Como os vetores diretores são iguais, as retas são paralelas ou coincidentes.
Agora, para saber qual delas é, verificamos se existe um ponto comum.
Vamos pegar um ponto na reta m, por exemplo, quando t=0: (1, 2, 3)
E verificar se esse ponto pertence à reta s:
x + y = 1 + 2 = 3 e z = 3 neq 2
Como z não coincide, as retas são paralelas.

Passo 4

Ângulo entre as retas:
Como as retas são paralelas, o ângulo entre elas é 0^circ ou 180^circ, dependendo da orientação dos vetores diretores.
Vamos calcular o ângulo usando o produto escalar:
costheta = dm cdot ds|dm||ds|
Calculando o produto escalar:
dm cdot ds = (-1)(-1) + (1)(1) + (0)(0) = 1 + 1 + 0 = 2
Módulo dos vetores:
|dm| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2
|ds| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2
Então:
costheta = 2raiz2 cdot raiz2 = 22 = 1
theta = arccos1 = 0^circ
Isso confirma que as retas são paralelas e na mesma direção.

Passo 5

Distância entre as retas:
Como as retas são paralelas, podemos calcular a distância entre elas usando a fórmula:
Distância = |n cdot (Ps - Pm)||n| â
Onde:
  • n é um vetor normal aos vetores diretores (pode ser qualquer vetor perpendicular a ambos).
  • Pm é um ponto na reta m.
  • Ps é um ponto na reta s.
Como as retas são paralelas e têm o mesmo vetor diretor, podemos simplificar escolhendo qualquer vetor que conecte um ponto de uma reta a outra.
Vamos usar o ponto de m: (1, 2, 3)
E um ponto de s: (3, 0, 2) (quando t=3)
O vetor entre esses pontos é:
Ps - Pm = (3-1, 0-2, 2-3) = (2, -2, -1)
Como as retas são paralelas, a distância é a projeção desse vetor em uma direção perpendicular aos vetores diretores.
Podemos usar a seguinte fórmula para distância entre retas paralelas:
Distância = |dm times (Ps - Pm)||dm| â
Calculando o produto vetorial:
dm times (Ps - Pm) = i & j & k -1 & 1 & 0 2 & -2 & -1 = i(1 cdot (-1) - 0 cdot (-2)) - j(-1 cdot (-1) - 0 cdot 2) + k(-1 cdot (-2) - 1 cdot 2)
= i(-1 - 0) - j(1 - 0) + k(2 - 2) = -i - j + k(0) = (-1, -1, 0)
Módulo do produto vetorial:
|dm times (Ps - Pm)| = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2
Módulo do vetor diretor:
|dm| = raiz(-1)^2 + 1^2 + 0^2 = raiz1 + 1 + 0 = raiz2
Então:
Distância = raiz2raiz2 = 1 â

Resposta

As retas m e s são paralelas, formam um ângulo de 0^circ entre si e a distância entre elas é 1 unidade.

Exercícios relacionados