Considere as seguintes retas:
c t:l 2 x-y+z=3 4 x+z=1 m:l x=1-t y=2+t z=3 , t in R n:l x-2=y+12 r: x+72=y2=z+2-1 s:l x+y=3 z=2 l 2 x+2 y-z=7
E os planos
alpha: 2 x-y+z=1 beta:-y+3 z=4 pi:l x=2 lambda-mu y=lambda+mu+1 ; lambda, mu in R z=1-lambda
Determine a posição relativa, o ângulo e a distância entre os seguintes pares de objetos:
n e alpha

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma reta chamada $ n $ e um plano chamado $ \alpha $. Nosso objetivo é descobrir três coisas sobre eles:
  1. Posição relativa: como eles se relacionam no espaço? Eles se cruzam, são paralelos, ou algo diferente?
  2. Ângulo: qual é o ângulo formado entre a reta $ n $ e o plano $ \alpha $?
  3. Distância: qual a menor distância entre a reta $ n $ e o plano $ \alpha $?
Para isso, vamos precisar usar conceitos de geometria analítica, como equações de retas e planos, vetores normais e direção, e fórmulas para calcular ângulos e distâncias entre objetos no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações da reta $ n $ e do plano $ \alpha $:
A reta $ n $ é dada por:
n
E o plano $ \alpha $ é:
alpha
Vamos reescrever a reta $ n $ em forma paramétrica para facilitar os cálculos. Observando as equações, podemos parametrizar $ n $ com um parâmetro $ t $:
n
Agora, temos a reta $ n $ parametrizada e o plano $ \alpha $ de forma explícita.

Passo 3

Posição Relativa:
Para determinar a posição relativa entre a reta $ n $ e o plano $ \alpha $, vamos verificar se há pontos de interseção ou se eles são paralelos.
Substituímos as equações paramétricas da reta $ n $ na equação do plano $ \alpha $:
n
Substituindo:
alpha
Simplificando:
n
Como encontramos um valor de $ t $ que satisfaz a equação, significa que a reta $ n $ intersecta o plano $ \alpha $ em um ponto específico.

Passo 4

Ângulo entre a reta e o plano:
O ângulo entre a reta e o plano é dado pelo complemento do ângulo entre o vetor diretor da reta e o vetor normal do plano.
Primeiro, identificamos o vetor diretor da reta $ n $ a partir das equações paramétricas:
n
E o vetor normal do plano $ \alpha $ é dado pelos coeficientes de $ x $, $ y $, e $ z $ na equação do plano:
d = (1, 2, -1)
Calculamos o ângulo $ \theta $ entre $ \vec{d} $ e $ \vec{n} $ usando o produto escalar:
alpha
Calculando:
x
y
z
Então:
n = (2, -1, 1)
theta
Como o ângulo entre a reta e o plano é o complemento:
d

Passo 5

Distância entre a reta e o plano:
Como a reta $ n $ intersecta o plano $ \alpha $, a distância entre eles nesse ponto de interseção é zero.

Resposta

A reta $ n $ intersecta o plano $ \alpha $ em um único ponto, formando um ângulo de aproximadamente $ 9.59^\circ $ entre eles. A distância entre a reta $ n $ e o plano $ \alpha $ é zero.

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