Questão 1 (2,5 pontos). Considere as seguintes retas:
r:l x=3 y=5 s:l x+y-2=0 x-y+z-2=0
b) Obtenha uma equação geral do plano que contém r e é paralelo à s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas dadas:
  • Reta r: onde e .
  • Reta s: definida pelas equações e .
A questão pede para a gente encontrar uma equação geral de um plano que contém a reta r e que é paralela à reta s. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre planos e retas. Precisaremos identificar vetores diretores e normalizar o plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a reta r. Já que e , isso significa que pode ser qualquer valor. Então, a reta r é uma reta vertical que passa pelo ponto .

Passo 3

Agora, vamos analisar a reta s. As equações são:
x + y - 2 = 0 x - y + z - 2 = 0
Para encontrar a parametrização da reta s, podemos resolver esse sistema. Vamos expressar x + y = 2 Rightarrow y = 2 - x em função de um parâmetro, digamos x - (2 - x) + z - 2 = 0 x - 2 + x + z - 2 = 0 2x + z - 4 = 0 Rightarrow z = 4 - 2x .
Da primeira equação:
rs(t) = (t, 2 - t, 4 - 2t)
Substituindo na segunda equação:
Vamos escolher , então e .
Assim, a parametrização da reta s é:
O vetor diretor da reta s é dado pelos coeficientes de , ou seja, .

Passo 4

Para encontrar o plano que contém a reta r e é paralelo à reta s, precisamos de duas direções no plano:
  1. A direção da reta r. Como n = dr times ds = i & j & k 0 & 0 & 1 1 & -1 & -2 = ( (0)(-2) - (1)(-1) )i - ( (0)(-2) - (1)(1) )j + ( (0)(-1) - (0)(1) )k e n = (0 + 1)i - (0 -1)j + (0 - 0)k = (1, 1, 0) , a direção da reta r é vertical, ou seja, n1(x - x0) + n2(y - y0) + n3(z - z0) = 0 .
  2. A direção da reta s, que já encontramos: 1(x - 3) + 1(y - 5) + 0(z - 0) = 0 x - 3 + y - 5 = 0 x + y - 8 = 0 .
Com esses dois vetores diretores no plano, podemos encontrar o vetor normal do plano usando o produto vetorial:
Agora, sabemos que a equação geral do plano é:
Onde é um ponto no plano. Vamos usar um ponto da reta r, por exemplo, .
Substituindo:

Resposta

A equação geral do plano é:
x + y - 8 = 0

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