Questão (2,5 pontos). Considere as seguintes retas:
b) Obtenha uma equação geral do plano que contém e é paralelo à .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas dadas:
Reta r: onde e .
Reta s: definida pelas equações e .
A questão pede para a gente encontrar uma equação geral de um plano que contém a reta r e que é paralela à reta s. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especialmente sobre planos e retas. Precisaremos identificar vetores diretores e normalizar o plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a reta r. Já que e , isso significa que pode ser qualquer valor. Então, a reta r é uma reta vertical que passa pelo ponto .
Passo 3
Agora, vamos analisar a reta s. As equações são:
Para encontrar a parametrização da reta s, podemos resolver esse sistema. Vamos expressar em função de um parâmetro, digamos .
Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Vamos escolher , então e .
Assim, a parametrização da reta s é:
O vetor diretor da reta s é dado pelos coeficientes de , ou seja, .
Passo 4
Para encontrar o plano que contém a reta r e é paralelo à reta s, precisamos de duas direções no plano:
A direção da reta r. Como e , a direção da reta r é vertical, ou seja, .
A direção da reta s, que já encontramos: .
Com esses dois vetores diretores no plano, podemos encontrar o vetor normal do plano usando o produto vetorial:
Agora, sabemos que a equação geral do plano é:
Onde é um ponto no plano. Vamos usar um ponto da reta r, por exemplo, .