Questão 1 (2,5 pontos). Considere as seguintes retas:
r:l x=3 y=5 s:l x+y-2=0 x-y+z-2=0
a) Estude a posição relativa entre r e s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão nos pede para analisar a posição relativa entre duas retas e . Estamos trabalhando com geometria analítica no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar verificar se as retas são paralelas, coincidentes, intersectantes ou estão em posições diferentes (espaçadas).

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações que definem as retas:
A reta x = 3 y = 5 é dada por:
r: x = 3 y = 5 z = t (t in R)
Isso significa que, para qualquer ponto na reta x + y - 2 = 0 x - y + z - 2 = 0 , os valores de e são sempre 3 e 5, respectivamente, e o valor de pode ser qualquer número real. Então, podemos representar parametricamente como:
A reta é dada por:
Vamos resolver esse sistema para expressar em forma paramétrica.

Passo 3

Resolvendo o sistema para x + y = 2 Rightarrow y = 2 - x :
Da primeira equação, temos:
x - (2 - x) + z - 2 = 0 x - 2 + x + z - 2 = 0 2x + z - 4 = 0 Rightarrow z = 4 - 2x
Substituindo x = t y = 2 - t z = 4 - 2t na segunda equação:
s: x = t y = 2 - t z = 4 - 2t (t in R)
Podemos escolher como parâmetro :
Então, a forma paramétrica da reta é:

Passo 4

Agora, vamos comparar as formas paramétricas de x = 3, y = 5, z = t e x = t, y = 2 - t, z = 4 - 2t :
Reta :
Reta :
Para que as retas se interceptem, deve existir um valor de que satisfaça as equações de ambas as retas simultaneamente.

Passo 5

Vamos tentar encontrar esse valor de y = 2 - 3 = -1 z = 4 - 2 times 3 = 4 - 6 = -2 :
Da reta , temos . Para que (da reta ), devemos ter .
Substituindo na reta :
Então, o ponto de interseção seria .
Agora, vamos verificar se esse ponto está na reta . Na reta , , mas no ponto de interseção . Como não coincide, as retas não se interceptam.

Passo 6

Além disso, as direções das retas são diferentes:
A direção de é na direção do eixo , ou seja, vetor diretor .
A direção de é dada pelos coeficientes das variáveis em , ou seja, vetor diretor .
Como os vetores diretores não são múltiplos um do outro, as retas não são paralelas.

Resposta

As retas e são retas espaçadas, ou seja, não se intersectam e não são paralelas.

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