Considere os seguintes sistemas de equações lineares:
b) cx1+x2+2 x3=-1 2 x1-x2+2 x3=-4, 4 x1+x2+4 x3=-2
i.) Resolva cada sistema de equações usando o método de Gauss.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de Gauss. O que a gente tem aqui é um conjunto de três equações com três incógnitas ( x1, x2, x3). Vamos precisar organizar essas equações em uma matriz aumentada e aplicar operações de linha para chegar a uma forma mais simples que nos permita encontrar os valores das incógnitas.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a matriz aumentada com os coeficientes das incógnitas e os termos independentes:
1 & 1 & 2 & | & -1 2 & -1 & 2 & | & -4 4 & 1 & 4 & | & -2
Essa matriz nos ajuda a visualizar melhor as operações que vamos realizar.

Passo 3

Agora, vamos usar o primeiro pivô (o número 1 na posição (1,1)) para zerar os elementos abaixo dele na primeira coluna. Para isso, vamos fazer:
  • Linha 2 menos 2 vezes a Linha 1:
2 - 2 times 1 = 0 (-1) - 2 times 1 = -3 2 - 2 times 2 = -2 |-4 - 2 times (-1) = -2
  • Linha 3 menos 4 vezes a Linha 1:
4 - 4 times 1 = 0 1 - 4 times 1 = -3 4 - 4 times 2 = -4 |-2 - 4 times (-1) = 2
A matriz fica assim:
1 & 1 & 2 & | & -1 0 & -3 & -2 & | & -2 0 & -3 & -4 & | & 2

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. O segundo pivô é -3 na posição (2,2). Vamos usá-lo para zerar o elemento abaixo dele na mesma coluna. Para isso, vamos fazer:
  • Linha 3 menos Linha 2:
0 - 0 = 0 -3 - (-3) = 0 -4 - (-2) = -2 |2 - (-2) = 4
A matriz fica assim:
1 & 1 & 2 & | & -1 0 & -3 & -2 & | & -2 0 & 0 & -2 & | & 4

Passo 5

Agora, a matriz está na forma escalonada. Vamos resolver de baixo para cima:
  • Da terceira equação: -2x3 = 4
    Então, x3 = 4-2 = -2.
  • Da segunda equação: -3x2 -2x3 = -2
    Substituindo x3 = -2:
    -3x2 -2(-2) = -2
    -3x2 + 4 = -2
    -3x2 = -6
    x2 = 2.
  • Da primeira equação: x1 + x2 + 2x3 = -1
    Substituindo x2 = 2 e x3 = -2:
    x1 + 2 + 2(-2) = -1
    x1 + 2 -4 = -1
    x1 -2 = -1
    x1 = 1.

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = 1, x2 = 2, x3 = -2

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