Considere os seguintes sistemas de equações lineares:
c) l3 x1-2 x2+x3=5 2 x1+3 x2+x3=1 2 x1+x2+3 x3=11
i.) Resolva cada sistema de equações usando o método de Gauss.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de Gauss. O sistema que temos é:
3x1 - 2x2 + x3 = 5 2x1 + 3x2 + x3 = 1 2x1 + x2 + 3x3 = 11
Vamos precisar usar matrizes e operações elementares para simplificar o sistema e encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso facilita a visualização das equações e as operações que vamos realizar.
3 & -2 & 1 & | & 5 2 & 3 & 1 & | & 1 2 & 1 & 3 & | & 11

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde os números abaixo da diagonal principal se tornem zero. Isso é feito através de operações de linha, como multiplicar uma linha por um número, trocar linhas ou adicionar múltiplos de uma linha a outra.
Vamos começar eliminando o das linhas 2 e 3. Para isso, queremos que o primeiro elemento da segunda e terceira linhas seja zero.

Passo 4

Para eliminar L2 = L2 - (23)L1 da segunda linha, podemos multiplicar a primeira linha por 2 - (23 times 3) &= 2 - 2 = 0 3 - (23 times (-2)) &= 3 + 43 = 133 1 - (23 times 1) &= 1 - 23 = 13 1 - (23 times 5) &= 1 - 103 = -73 e subtrair da segunda linha:
0 & 133 & 13 & | & -73
Calculando:
Então, a segunda linha fica:

Passo 5

Agora, vamos eliminar L3 = L3 - (23)L1 da terceira linha. Podemos multiplicar a primeira linha por 2 - (23 times 3) &= 2 - 2 = 0 1 - (23 times (-2)) &= 1 + 43 = 73 3 - (23 times 1) &= 3 - 23 = 73 11 - (23 times 5) &= 11 - 103 = 233 e subtrair da terceira linha:
0 & 73 & 73 & | & 233
Calculando:
Então, a terceira linha fica:

Passo 6

Agora, nossa matriz fica assim:
3 & -2 & 1 & | & 5 0 & 133 & 13 & | & -73 0 & 73 & 73 & | & 233
Vamos simplificar as frações multiplicando as linhas 2 e 3 por 3 para facilitar os cálculos:
L2: 0x1 + 13x2 + x3 = -7 L3: 0x1 + 7x2 + 7x3 = 23

Passo 7

Agora, vamos eliminar L3 = L3 - (713)L2 da terceira linha. Para isso, podemos multiplicar a segunda linha por 7 - (713 times 13) &= 7 - 7 = 0 7 - (713 times 1) &= 7 - 713 = 8413 23 - (713 times (-7)) &= 23 + 4913 = 36813 e subtrair da terceira linha:
0 & 0 & 8413 & | & 36813
Calculando:
Então, a terceira linha fica:

Passo 8

Agora, nossa matriz está na forma triangular:
3 & -2 & 1 & | & 5 0 & 13 & 1 & | & -7 0 & 0 & 8413 & | & 36813
Vamos resolver de baixo para cima:
Primeiro, da terceira linha:
8413x3 = 36813 implies x3 = 36813 div 8413 = 36884 = 9221 = 9221 approx 4.38095

Passo 9

Agora, usamos o valor de 13x2 + x3 = -7 implies 13x2 = -7 - x3 = -7 - 9221 = -14721 - 9221 = -23921 na segunda linha para encontrar x2 = -23921 div 13 = -239273 = -239273 approx -0.8755 :

Passo 10

Por fim, usamos os valores de 3x1 - 2x2 + x3 = 5 implies 3x1 = 5 + 2x2 - x3 e 3x1 = 5 + 2(-239273) - 9221 na primeira linha para encontrar 3x1 = 5 - 478273 - 9221 = 1365273 - 478273 - 1196273 = 1365 - 478 - 1196273 = -309273 :
x1 = -309273 div 3 = -309819 = -103273 approx -0.377
Substituindo:
Calculando:

Resposta

A solução do sistema de equações é:
x1 = -103273 approx -0.377 x2 = -239273 approx -0.876 x3 = 9221 approx 4.381

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