Considere os seguintes sistemas de equações lineares:
c)
i.) Resolva cada sistema de equações usando o método de Gauss.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o método de Gauss. O sistema que temos é:
Vamos precisar usar matrizes e operações elementares para simplificar o sistema e encontrar os valores de , e .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso facilita a visualização das equações e as operações que vamos realizar.
Passo 3
Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, onde os números abaixo da diagonal principal se tornem zero. Isso é feito através de operações de linha, como multiplicar uma linha por um número, trocar linhas ou adicionar múltiplos de uma linha a outra.
Vamos começar eliminando o das linhas 2 e 3. Para isso, queremos que o primeiro elemento da segunda e terceira linhas seja zero.
Passo 4
Para eliminar da segunda linha, podemos multiplicar a primeira linha por e subtrair da segunda linha:
Calculando:
Então, a segunda linha fica:
Passo 5
Agora, vamos eliminar da terceira linha. Podemos multiplicar a primeira linha por e subtrair da terceira linha:
Calculando:
Então, a terceira linha fica:
Passo 6
Agora, nossa matriz fica assim:
Vamos simplificar as frações multiplicando as linhas 2 e 3 por 3 para facilitar os cálculos:
Passo 7
Agora, vamos eliminar da terceira linha. Para isso, podemos multiplicar a segunda linha por e subtrair da terceira linha:
Calculando:
Então, a terceira linha fica:
Passo 8
Agora, nossa matriz está na forma triangular:
Vamos resolver de baixo para cima:
Primeiro, da terceira linha:
Passo 9
Agora, usamos o valor de na segunda linha para encontrar :
Passo 10
Por fim, usamos os valores de e na primeira linha para encontrar :