Sejam os pontos A=(4,2,-1), B=(6,4,-6), C=(-1,3,2) e D=(0,-1,5).
(b) Mostre que os vetores A B, A C, A D são L.I.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro pontos no espaço tridimensional: A, B, C e D. Precisamos mostrar que os vetores AB, AC e AD são linearmente independentes. Isso quer dizer que nenhum desses vetores pode ser escrito como uma combinação dos outros. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como calcular vetores a partir de pontos e entender o conceito de independência linear.

Passo 2

Vamos começar calculando os vetores AB, AC e AD. Para isso, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B, C e D respectivamente.
AB = B - A = (6-4, 4-2, -6 - (-1)) = (2, 2, -5)
AC = C - A = (-1-4, 3-2, 2 - (-1)) = (-5, 1, 3)
AD = D - A = (0-4, -1-2, 5 - (-1)) = (-4, -3, 6)

Passo 3

Agora que temos os vetores, precisamos verificar se eles são linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a combinação linear k1AB + k2AC + k3AD = 0 é k1 = k2 = k3 = 0.
Para verificar isso, podemos montar uma matriz com esses vetores e calcular o seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Vamos montar a matriz usando os vetores como colunas:
2 & -5 & -4 2 & 1 & -3 -5 & 3 & 6

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
det = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde:
a & b & c d & e & f g & h & i
Aplicando os valores:
det = 2(1 cdot 6 - (-3) cdot 3) - (-5)(2 cdot 6 - (-3) cdot (-5)) + (-4)(2 cdot 3 - 1 cdot (-5))
det = 2(6 + 9) - (-5)(12 - 15) + (-4)(6 + 5)
det = 2(15) - (-5)(-3) + (-4)(11)
det = 30 - 15 - 44 = -29

Passo 6

O determinante calculado foi -29, que é diferente de zero. Isso significa que a única solução para a combinação linear é k1 = k2 = k3 = 0, confirmando que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores AB, AC e AD são linearmente independentes.

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