Sejam os pontos e .
(b) Mostre que os vetores são L.I.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro pontos no espaço tridimensional: A, B, C e D. Precisamos mostrar que os vetores AB, AC e AD são linearmente independentes. Isso quer dizer que nenhum desses vetores pode ser escrito como uma combinação dos outros. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como calcular vetores a partir de pontos e entender o conceito de independência linear.
Passo 2
Vamos começar calculando os vetores AB, AC e AD. Para isso, subtraímos as coordenadas de A das coordenadas de B, C e D respectivamente.
AB = B - A = (6-4, 4-2, -6 - (-1)) = (2, 2, -5)
AC = C - A = (-1-4, 3-2, 2 - (-1)) = (-5, 1, 3)
AD = D - A = (0-4, -1-2, 5 - (-1)) = (-4, -3, 6)
Passo 3
Agora que temos os vetores, precisamos verificar se eles são linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a combinação linear k1AB + k2AC + k3AD = 0 é k1 = k2 = k3 = 0.
Para verificar isso, podemos montar uma matriz com esses vetores e calcular o seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Vamos montar a matriz usando os vetores como colunas:
2 & -5 & -4 2 & 1 & -3 -5 & 3 & 6
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
O determinante calculado foi -29, que é diferente de zero. Isso significa que a única solução para a combinação linear é k1 = k2 = k3 = 0, confirmando que os vetores são linearmente independentes.
Resposta
Os vetores AB, AC e AD são linearmente independentes.