Sejam os pontos e .
(b) Mostre que os vetores são L.I.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro pontos no espaço tridimensional: , , e . Precisamos mostrar que os vetores , e são linearmente independentes. Isso quer dizer que nenhum desses vetores pode ser escrito como uma combinação dos outros. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como calcular vetores a partir de pontos e entender o conceito de independência linear.

Passo 2

Vamos começar calculando os vetores , e . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de , e respectivamente.

Passo 3

Agora que temos os vetores, precisamos verificar se eles são linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a combinação linear é .
Para verificar isso, podemos montar uma matriz com esses vetores e calcular o seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Vamos montar a matriz usando os vetores como colunas:

Passo 5

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
Onde:
Aplicando os valores:

Passo 6

O determinante calculado foi , que é diferente de zero. Isso significa que a única solução para a combinação linear é , confirmando que os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Os vetores , e são linearmente independentes.

Exercícios relacionados

Sejam os pontos e .
(a) Determine o ângulo entre os vetores e e a área do triângulo .
Escreva uma equação para o lugar geométrico dos pontos de cujas somas das distâncias aos pontos e é igual a 6 .
Considere os seguintes sistemas de equações lineares:
a)
i.) Resolva cada sistema de equações usando o método de Gauss.
Multiplicar as seguintes matrizes:
f) .