Sejam os pontos e .
(b) Mostre que os vetores são L.I.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos quatro pontos no espaço tridimensional: , , e . Precisamos mostrar que os vetores , e são linearmente independentes. Isso quer dizer que nenhum desses vetores pode ser escrito como uma combinação dos outros. Para resolver isso, vamos precisar conhecer como calcular vetores a partir de pontos e entender o conceito de independência linear.
Passo 2
Vamos começar calculando os vetores , e . Para isso, subtraímos as coordenadas de das coordenadas de , e respectivamente.
Passo 3
Agora que temos os vetores, precisamos verificar se eles são linearmente independentes. Isso significa que a única solução para a combinação linear é .
Para verificar isso, podemos montar uma matriz com esses vetores e calcular o seu determinante. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Vamos montar a matriz usando os vetores como colunas:
Passo 5
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. O determinante de uma matriz 3x3 é calculado da seguinte forma:
Onde:
Aplicando os valores:
Passo 6
O determinante calculado foi , que é diferente de zero. Isso significa que a única solução para a combinação linear é , confirmando que os vetores são linearmente independentes.