Determine quais dos conjuntos abaixo são L.I.: c) (1,0,1),(0,0,1),(2,0,5)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente descobrir se o conjunto de vetores (1,0,1), (0,0,1), (2,0,5) é linearmente independente (L.I.). Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente independentes e aplicar isso na prática.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única combinação linear que resulta no vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Ou seja, se a gente tem:
a1 cdot v1 + a2 cdot v2 + a3 cdot v3 = 0
A única solução para os coeficientes deve ser . Se existir outra solução, então os vetores são linearmente dependentes.

Passo 3

Agora, vamos aplicar isso aos vetores do conjunto:
a1 cdot (1,0,1) + a2 cdot (0,0,1) + a3 cdot (2,0,5) = (0,0,0)
Isso dá o seguinte sistema de equações:
a1 + 2a3 = 0 0a1 + 0a2 + 0a3 = 0 a1 + a2 + 5a3 = 0

Passo 4

Vamos resolver esse sistema. A segunda equaç��o já está satisfeita, não nos dá informação nova. Da primeira equação, temos:
a1 = -2a3
Agora, substituímos -2a3 + a2 + 5a3 = 0 na terceira equação:
a2 + 3a3 = 0
Simplificando:
a2 = -3a3

Passo 5

Até aqui, vimos que a1 = -2 e a2 = -3 . Isso significa que podemos escolher qualquer valor para a3 = 1 e ainda assim obter uma combinação que resulta no vetor zero. Por exemplo, se escolhermos -2 cdot (1,0,1) -3 cdot (0,0,1) + 1 cdot (2,0,5) = (0,0,0) :
Isso nos dá:

Resposta

O conjunto (1,0,1), (0,0,1), (2,0,5) não é linearmente independente.

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