Considere os seguintes subespaços de
e
. Determine
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois subespaços de
(polinômios de grau no máximo 3):
A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre dimensões de subespaços e como calcular a dimensão da soma e da interseção de dois subespaços. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a dimensão de cada subespaço e usar algumas fórmulas básicas dessa área.
Passo 2
Vamos começar encontrando a dimensão de
. Por definição,
é o conjunto de polinômios em
cuja segunda derivada em
é zero.
Um polinômio geral em
pode ser escrito como:
Vamos calcular a segunda derivada:
Impondo a condição
:
Então, qualquer polinômio em
tem a forma:
Aqui,
,
e
são livres, ou seja, podem assumir qualquer valor. Então, a dimensão de
é 3.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a dimensão de
. Por definição,
é o conjunto de polinômios em
cuja primeira derivada em
é zero.
Usando o mesmo polinômio geral:
Impondo a condição
:
Então, qualquer polinômio em
tem a forma:
Aqui,
,
e
são livres, então a dimensão de
também é 3.
Passo 4
Agora que temos as dimensões de
e
, vamos usar uma fórmula importante da Álgebra Linear que relaciona a dimensão da soma e da interseção de dois subespaços:
Sabemos que
tem dimensão 4. Como
e
são subespaços de
com dimensões 3 cada, a soma
não pode ter dimensão maior que 4.
Substituindo os valores:
Como
:
Assim, concluímos que
e, consequentemente:
Resposta
A dimensão de
é 4 e a dimensão de
é 2.