Considere os seguintes subespaços de P3: U=p in P3: p^prime prime(1)=0 e W=p in P3: p^prime(1)=0. Determine dim(U+W) e dim(U cap W).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois subespaços de (polinômios de grau no máximo 3):
A matéria aqui é Álgebra Linear, especificamente sobre dimensões de subespaços e como calcular a dimensão da soma e da interseção de dois subespaços. Para resolver, vamos precisar entender como encontrar a dimensão de cada subespaço e usar algumas fórmulas básicas dessa área.

Passo 2

Vamos começar encontrando a dimensão de p(x) = a x^3 + b x^2 + c x + d . Por definição, p'(x) = 3a x^2 + 2b x + c é o conjunto de polinômios em p''(x) = 6a x + 2b cuja segunda derivada em 6a cdot 1 + 2b = 0 é zero.
Um polinômio geral em 6a + 2b = 0 pode ser escrito como:
3a + b = 0
Vamos calcular a segunda derivada:
b = -3a
p(x) = a x^3 - 3a x^2 + c x + d
Impondo a condição :
Então, qualquer polinômio em tem a forma:
Aqui, , e são livres, ou seja, podem assumir qualquer valor. Então, a dimensão de é 3.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a dimensão de p'(x) = 3a x^2 + 2b x + c . Por definição, 3a cdot 1^2 + 2b cdot 1 + c = 0 é o conjunto de polinômios em 3a + 2b + c = 0 cuja primeira derivada em c = -3a - 2b é zero.
Usando o mesmo polinômio geral:
p(x) = a x^3 + b x^2 - 3a x - 2b x + d
Impondo a condição p(x) = a x^3 + b x^2 - 3a x - 2b x + d :
Então, qualquer polinômio em tem a forma:
Aqui, , e são livres, então a dimensão de também é 3.

Passo 4

Agora que temos as dimensões de dim(U + W) = dim U + dim W - dim(U cap W) e dim(U + W) = 3 + 3 - dim(U cap W) , vamos usar uma fórmula importante da Álgebra Linear que relaciona a dimensão da soma e da interseção de dois subespaços:
dim(U + W) = 6 - dim(U cap W)
Sabemos que 6 - dim(U cap W) <= 4 tem dimensão 4. Como dim(U cap W) >= 2 e dim(U + W) = 4 são subespaços de com dimensões 3 cada, a soma não pode ter dimensão maior que 4.
Substituindo os valores:
Como :
Assim, concluímos que e, consequentemente:

Resposta

A dimensão de é 4 e a dimensão de é 2.

Exercícios relacionados