Para quais valores reais de os vetores e formam um conjunto linearmente independente em ?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem três vetores no espaço tridimensional que dependem de um número real . A pergunta é: para quais valores de esses vetores são linearmente independentes? Ou seja, não dá pra escrever nenhum deles como combinação linear dos outros. Para descobrir isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos montar uma matriz com os vetores , e como colunas:
Passo 3
Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz . A gente sabe que se o determinante for diferente de zero (), então os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Vamos calcular o determinante usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos optar pela regra de Laplace para facilitar:
det(A) = k cdot k & -12 -12 & k - (-12) cdot -12 & -12 -12 & k + (-12) cdot -12 & k -12 & -12
Calculando cada determinante menor:
k & -12 -12 & k = k cdot k - (-12) cdot (-12) = k^2 - 14
-12 & -12 -12 & k = (-12) cdot k - (-12) cdot (-12) = -k2 - 14
-12 & k -12 & -12 = (-12) cdot (-12) - (-12) cdot k = 14 + k2
Substituindo de volta na expressão do determinante: