Para quais valores reais de k os vetores v1=(k,-12,-12), v2=(-12, k,-12) e v3=(-12,-12, k) formam um conjunto linearmente independente em R^3 ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de álgebra linear juntos! A gente tem três vetores no espaço tridimensional que dependem de um número real . A pergunta é: para quais valores de esses vetores são linearmente independentes? Ou seja, não dá pra escrever nenhum deles como combinação linear dos outros. Para descobrir isso, vamos usar o conceito de determinante de uma matriz formada por esses vetores. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz com os vetores A = k & -12 & -12 -12 & k & -12 -12 & -12 & k , e como colunas:

Passo 3

Agora, precisamos calcular o determinante dessa matriz . A gente sabe que se o determinante for diferente de zero ( ), então os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Vamos calcular o determinante usando a regra de Sarrus ou a regra de Laplace. Vamos optar pela regra de Laplace para facilitar:
det(A) = k cdot k & -12 -12 & k - (-12) cdot -12 & -12 -12 & k + (-12) cdot -12 & k -12 & -12
Calculando cada determinante menor:
k & -12 -12 & k = k cdot k - (-12) cdot (-12) = k^2 - 14
-12 & -12 -12 & k = (-12) cdot k - (-12) cdot (-12) = -k2 - 14
-12 & k -12 & -12 = (-12) cdot (-12) - (-12) cdot k = 14 + k2
Substituindo de volta na expressão do determinante:
det(A) = k cdot (k^2 - 14) - (-12) cdot (-k2 - 14) + (-12) cdot (14 + k2)
Simplificando:
det(A) = k^3 - k4 - 12 cdot (k2 + 14) - 12 cdot (14 + k2)
det(A) = k^3 - k4 - k4 - 18 - 18 - k4
det(A) = k^3 - 3k4 - 14

Passo 5

Para que os vetores sejam linearmente independentes, precisamos que k^3 - 3k4 - 14 = 0 . Então, vamos resolver a equação 4k^3 - 3k - 1 = 0 :
4(1)^3 - 3(1) - 1 = 4 - 3 - 1 = 0
Multiplicando toda a equação por 4 para eliminar os denominadores:
( k - 1 )(4k^2 + 4k + 1) = 0
Vamos tentar encontrar as raízes dessa equação. Testando De:
k = -48 = -12
Então, é uma raiz. Podemos fatorar a equação:
Resolvendo pelo discriminante:
Portanto, temos uma raiz dupla:

Resposta

Os vetores são linearmente independentes para todo valor real de exceto quando ou .

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