Então, a gente tem um conjunto de três vetores que são linearmente independentes em . O que isso significa? Que nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois. Nossa missão aqui é mostrar que outro conjunto formado por combinações desses vetores também é linearmente independente. O conjunto novo é .
Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear e independência linear. Vamos ver passo a passo como provar isso.
Passo 2
Definindo o que significa ser linearmente independente
Primeiro, vamos relembrar o que é ser linearmente independente (LI). Um conjunto de vetores é LI se a única solução para a combinação linear igual a zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se:
implica que .
Vamos aplicar isso ao nosso conjunto novo .
Passo 3
Configurando a combinação linear igual a zero
Vamos supor que existe uma combinação linear desses novos vetores que resulte no vetor zero:
Nosso objetivo é mostrar que é a única solução possível.
Passo 4
Expandindo a expressão
Vamos distribuir os coeficientes dentro dos parênteses:
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Passo 5
Usando a independência linear dos vetores originais
Sabemos que é um conjunto linearmente independente. Isso significa que se uma combinação linear desses vetores resulta em zero, então todos os coeficientes devem ser zero. Aplicando isso à nossa equação:
Passo 6
Resolvendo o sistema de equações
Vamos resolver o sistema passo a passo:
Da segunda equação: =>
Da terceira equação: => Substituindo : =>
Da primeira equação: => Substituindo : => =>
Agora, sabendo que :
Resposta
Portanto, a única solução para a combinação linear ser zero é . Isso mostra que o conjunto é linearmente independente.