Mostre que se v1, v2, v3, é LI em R^3, então v2-v1, v2+v3, v3-v1, também é LI.

Passo 1

Entendendo o problema e o que vamos precisar
Então, a gente tem um conjunto de três vetores que são linearmente independentes em . O que isso significa? Que nenhum dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros dois. Nossa missão aqui é mostrar que outro conjunto formado por combinações desses vetores também é linearmente independente. O conjunto novo é .
Para resolver isso, vamos usar o conceito de combinação linear e independência linear. Vamos ver passo a passo como provar isso.

Passo 2

Definindo o que significa ser linearmente independente
Primeiro, vamos relembrar o que é ser linearmente independente (LI). Um conjunto de vetores é LI se a única solução para a combinação linear igual a zero é quando todos os coeficientes são zero. Ou seja, se:
c1u1 + c2u2 + c3u3 = 0
implica que .
Vamos aplicar isso ao nosso conjunto novo .

Passo 3

Configurando a combinação linear igual a zero
Vamos supor que existe uma combinação linear desses novos vetores que resulte no vetor zero:
a(v2 - v1) + b(v2 + v3) + c(v3 - v1) = 0
Nosso objetivo é mostrar que é a única solução possível.

Passo 4

Expandindo a expressão
Vamos distribuir os coeficientes dentro dos parênteses:
a(v2 - v1) + b(v2 + v3) + c(v3 - v1) &= 0 a v2 - a v1 + b v2 + b v3 + c v3 - c v1 &= 0
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
(-a - c)v1 + (a + b)v2 + (b + c)v3 = 0

Passo 5

Usando a independência linear dos vetores originais
Sabemos que -a - c = 0 a + b = 0 b + c = 0 é um conjunto linearmente independente. Isso significa que se uma combinação linear desses vetores resulta em zero, então todos os coeficientes devem ser zero. Aplicando isso à nossa equação:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações
Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Da segunda equação: =>
  2. Da terceira equação: => Substituindo : =>
  3. Da primeira equação: => Substituindo : => =>
Agora, sabendo que :

Resposta

Portanto, a única solução para a combinação linear ser zero é . Isso mostra que o conjunto é linearmente independente.

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