Considere os seguintes subespaços de
.
Ache uma base de
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços em
:
-
: é o conjunto de todos os vetores que satisfazem as equações e . -
: é o conjunto de todos os vetores que satisfazem a equação .
O objetivo é achar uma base para
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são esses subespaços e como encontrar suas bases usando conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações e combinação linear.
Passo 2
Vamos começar encontrando uma base para
. Temos duas equações para esse subespaço:
Como
, substituímos na primeira equação:
Então, qualquer vetor em
tem a forma
, onde
pode ser qualquer número real. Podemos escrever isso como:
Isso mostra que
é uma reta no espaço tridimensional, pois é gerada por um único parâmetro
.
Passo 3
Para encontrar uma base de
, precisamos identificar um vetor que gere todo o subespaço. Observando a forma
, vemos que podemos fatorar
:
Isso significa que todo vetor em
é um múltiplo escalar do vetor
. Portanto, uma base para
é:
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma base para
. A definição de
é:
Isso significa que
. Podemos expressar os vetores de
como:
Podemos reescrever isso separando os parâmetros
e
:
Isso mostra que qualquer vetor em
pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores
e
.
Passo 5
Portanto, uma base para
é o conjunto dos vetores que usamos na combinação linear:
Esses vetores são linearmente independentes e geram todo o subespaço
.
Resposta
Uma base para
é
e uma base para
é
.