Considere os seguintes subespaços de R^3.
Pii=(x, y z) in R^3 mid x+y-z=0 ; x=0 e W2=(x, y z) in R^3 mid x-z=0
Ache uma base de I1, I2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços em :
  • : é o conjunto de todos os vetores que satisfazem as equações e .
  • : é o conjunto de todos os vetores que satisfazem a equação .
O objetivo é achar uma base para e . Para resolver isso, vamos precisar entender o que são esses subespaços e como encontrar suas bases usando conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações e combinação linear.

Passo 2

Vamos começar encontrando uma base para 0 + y - z = 0 implies y = z . Temos duas equações para esse subespaço:
  1. Pi1 = (0, y, y) mid y in R
Como , substituímos na primeira equação:
Então, qualquer vetor em tem a forma , onde pode ser qualquer número real. Podemos escrever isso como:
Isso mostra que é uma reta no espaço tridimensional, pois é gerada por um único parâmetro .

Passo 3

Para encontrar uma base de (0, y, y) = y cdot (0, 1, 1) , precisamos identificar um vetor que gere todo o subespaço. Observando a forma , (0, 1, 1) , , vemos que podemos fatorar :
Isso significa que todo vetor em é um múltiplo escalar do vetor . Portanto, uma base para é:

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma base para W2 = , (x, y, z) in R^3 mid x - z = 0 , . A definição de (x, y, x) onde x, y in R é:
(x, y, x) = x cdot (1, 0, 1) + y cdot (0, 1, 0)
Isso significa que . Podemos expressar os vetores de como:
Podemos reescrever isso separando os parâmetros e :
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .

Passo 5

Portanto, uma base para , (1, 0, 1), ; (0, 1, 0) , é o conjunto dos vetores que usamos na combinação linear:
Esses vetores são linearmente independentes e geram todo o subespaço .

Resposta

Uma base para é e uma base para é .

Exercícios relacionados