- (valor: 20 pta) b) Define base de um espaço vetorial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente definir o que é uma base de um espaço vetorial. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, especificamente lidando com vetores e espaços vetoriais. Para resolver isso, vamos precisar entender o que são espaço vetorial e o que significa uma base dentro desse contexto.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é um espaço vetorial. Um espaço vetorial é um conjunto de vetores que pode ser escalado por números (escalares) e somado entre si, seguindo algumas regras específicas, como a existência de um vetor nulo e a comutatividade da adição.
Passo 3
Agora, falando sobre base, na Álgebra Linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que têm duas propriedades principais: linearmente independentes e geram o espaço vetorial inteiro.
Passo 4
Vamos entender cada uma dessas propriedades:
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Linearmente independentes: Isso significa que nenhum vetor do conjunto pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores. Em outras palavras, não tem vetor “repetido” ou “redundante” no conjunto.
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Geram o espaço vetorial: Significa que qualquer vetor no espaço vetorial pode ser expresso como uma combinação linear desses vetores da base. É como se os vetores da base fossem os “blocos de construção” do espaço.
Passo 5
Para ilustrar, imagine que você tem um plano bidimensional (como uma folha de papel). Uma base desse espaço pode ser formada por dois vetores que não estão na mesma linha (isto é, são linearmente independentes). Com esses dois vetores, você pode alcançar qualquer ponto no plano combinando-os adequadamente.
Passo 6
Formalmente, se
é um espaço vetorial, um conjunto de vetores
é uma base de
se:
- Linearmente Independentes: A única solução para a equação
é . - Espaço Vetorial é Gerado pelos Vetores da Base: Qualquer vetor
em pode ser escrito como , onde são escalares.
Resposta
Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço vetorial. Isso significa que qualquer vetor do espaço pode ser expresso como uma combinação linear desses vetores da base, e nenhum vetor na base pode ser escrito como uma combinação dos demais.