Considere os seguintes subespaços de
.
Ache uma base de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois subespaços de
:
A pergunta quer que a gente encontre uma base para a interseção desses dois subespaços, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um subespaço e como encontrar sua interseção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender
. As condições
e
nos dão duas equações:
-
-
simplificando para
Então, qualquer vetor em
tem a forma
. Podemos expressar isso como:
Isso significa que
é uma reta no espaço, onde
e
são iguais e
é sempre zero.
Passo 3
Agora, vamos analisar
. A condição é
, ou seja,
. Portanto, qualquer vetor em
tem a forma
. Podemos escrever:
Esse subespaço é um plano no
, onde
e
são iguais, mas
pode variar livremente.
Passo 4
Agora, queremos encontrar a interseção
, ou seja, os vetores que pertencem a ambos os subespaços. Vamos usar as formas que encontramos:
- Em
: - Em
:
Para que um vetor pertença a ambos, as duas formas devem ser iguais:
Isso nos dá o sistema de equações:
-
-
(sempre verdadeiro) -
Passo 5
Da primeira equação, temos que
. Da terceira equação, substituindo
, obtemos
.
Portanto, os vetores na interseção devem satisfazer
e
. Assim, esses vetores têm a forma:
onde
pode ser qualquer número real.
Passo 6
Agora, identificamos que a interseção
consiste em todos os vetores do tipo
. Podemos escrever isso como:
Isso é basicamente a linha ao longo do eixo
.
Passo 7
Para encontrar uma base para
, precisamos de um conjunto de vetores que seja linearmente independente e que gere todo o subespaço. No nosso caso, qualquer vetor não nulo da forma
pode servir.
Por exemplo, podemos escolher o vetor
.
Resposta
Uma base para
é
.