Considere os seguintes subespaços de R^3.
Pii=(x, y z) in R^3 mid x+y-z=0 ; x=0 e W2=(x, y z) in R^3 mid x-z=0
Ache uma base de IH1 cap H2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois subespaços de Pi1 = (x, y, z) in R^3 mid x + y - z = 0; x = 0 :
W2 = (x, y, z) in R^3 mid x - z = 0
A pergunta quer que a gente encontre uma base para a interseção desses dois subespaços, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa um subespaço e como encontrar sua interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender Pi1 = (0, y, y) mid y in R . As condições e nos dão duas equações:
  1. simplificando para
Então, qualquer vetor em tem a forma . Podemos expressar isso como:
Isso significa que é uma reta no espaço, onde e são iguais e é sempre zero.

Passo 3

Agora, vamos analisar W2 = (x, y, x) mid x, y in R . A condição é , ou seja, . Portanto, qualquer vetor em tem a forma . Podemos escrever:
Esse subespaço é um plano no , onde e são iguais, mas pode variar livremente.

Passo 4

Agora, queremos encontrar a interseção (0, y, y) = (x, y, x) , ou seja, os vetores que pertencem a ambos os subespaços. Vamos usar as formas que encontramos:
  • Em :
  • Em :
Para que um vetor pertença a ambos, as duas formas devem ser iguais:
Isso nos dá o sistema de equações:
  1. (sempre verdadeiro)

Passo 5

Da primeira equação, temos que (0, 0, z) . Da terceira equação, substituindo , obtemos .
Portanto, os vetores na interseção devem satisfazer e . Assim, esses vetores têm a forma:
onde pode ser qualquer número real.

Passo 6

Agora, identificamos que a interseção Pi1 cap W2 = (0, 0, z) mid z in R consiste em todos os vetores do tipo . Podemos escrever isso como:
Isso é basicamente a linha ao longo do eixo .

Passo 7

Para encontrar uma base para , precisamos de um conjunto de vetores que seja linearmente independente e que gere todo o subespaço. No nosso caso, qualquer vetor não nulo da forma pode servir.
Por exemplo, podemos escolher o vetor .

Resposta

Uma base para é .

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