Valor ( 2.0 pontos) Verifique se os subconjuntos abaixo sāo subespaços do espaço vetorial I: Justifique sua resposta e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se um certo conjunto de matrizes é um subespaço do espaço vetorial das matrizes 2x2 com entradas reais, que chamamos de . Para isso, vamos precisar lembrar o que é um subespaço vetorial e quais são os critérios para que um conjunto seja considerado assim.
Passo 2
Primeiro, lembraremos que um subespaço vetorial precisa satisfazer três condições:
Contém o vetor zero: A matriz zero deve estar no conjunto.
Fechado para adição: Se você pegar duas matrizes do conjunto e somar, o resultado também deve estar no conjunto.
Fechado para multiplicação por escalar: Se você multiplicar uma matriz do conjunto por um número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos aplicar essas condições ao conjunto .
Passo 3
O conjunto I = a & b c & d ,g|, a in Z é definido como:
Isso significa que todas as matrizes em têm o elemento na posição (1,1) sendo um número inteiro, enquanto os outros elementos podem ser quaisquer números reais.
Passo 4
1. Verificando se contém o vetor zero:
A matriz zero é:
0 & 0 0 & 0
Aqui, A = a1 & b1 c1 & d1 , B = a2 & b2 c2 & d2 , que é um número inteiro. Portanto, a matriz zero está em A + B = a1 + a2 & b1 + b2 c1 + c2 & d1 + d2 .
2. Verificando a soma de duas matrizes do conjunto:
Vamos pegar duas matrizes kA = k a1 & k b1 k c1 & k d1 e em :
Onde . A soma é:
Como e são inteiros, também é inteiro. Portanto, está em .
3. Verificando a multiplicação por escalar:
Vamos multiplicar a matriz por um escalar :
Aqui, é inteiro, mas só será inteiro se for inteiro. No entanto, pode ser qualquer número real, então nem sempre será inteiro. Isso significa que nem sempre está em .
Passo 5
Conclusão dos critérios:
A primeira condição (contém o vetor zero) é satisfeita.
A segunda condição (fechamento para adição) também é satisfeita.
A terceira condição (fechamento para multiplicação por escalar) não é satisfeita, já que a multiplicação por um escalar real pode resultar em que não é inteiro.
Resposta
O conjunto não é um subespaço de , pois não é fechado para multiplicação por escalar.