Valor ( 2.0 pontos) Verifique se os subconjuntos abaixo sāo subespaços do espaço vetorial I: Justifique sua resposta
I^cdot=R^3 e H^cdot=(x, y, z) in V mid x+2 y=0 e x-z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se um certo conjunto chamado H é um subespaço do espaço vetorial I = R^3. Para isso, vamos precisar entender o que caracteriza um subespaço e aplicar essas regras para ver se H se encaixa.

Passo 2

Primeiro, o que é um subespaço? Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: O vetor (0,0,0) deve estar no conjunto.
  2. Fechado na adição: Se você pegar dois vetores que estão no conjunto, a soma deles também precisa estar no conjunto.
  3. Fechado na multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para H.

Passo 3

1. Contém o vetor zero
Vamos ver se (0,0,0) está em H. Substituindo na definição de H:
  • x + 2y = 0 + 2*0 = 0
  • x - z = 0 - 0 = 0
Então, o vetor zero está em H.

Passo 4

2. Fechado na adição
Vamos pegar dois vetores quaisquer em H, digamos (x1, y1, z1) e (x2, y2, z2). Pelo que H exige:
  • x1 + 2y1 = 0 e x1 - z1 = 0
  • x2 + 2y2 = 0 e x2 - z2 = 0
Vamos somar esses dois vetores: (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2).
Agora, verificamos se esse novo vetor também satisfaz as condições:
  • (x1 + x2) + 2(y1 + y2) = (x1 + 2y1) + (x2 + 2y2) = 0 + 0 = 0
  • (x1 + x2) - (z1 + z2) = (x1 - z1) + (x2 - z2) = 0 + 0 = 0
Então, a soma de dois vetores de H também está em H.

Passo 5

3. Fechado na multiplicação por escalar
Vamos pegar um vetor qualquer em H, digamos (x, y, z), e um escalar k in R. Multiplicando o vetor por k, temos (kx, ky, kz).
Agora, verificamos se esse novo vetor também satisfaz as condições:
  • kx + 2ky = k(x + 2y) = k*0 = 0
  • kx - kz = k(x - z) = k*0 = 0
Então, o vetor multiplicado por um escalar também está em H.

Resposta

Sim, o conjunto H = (x, y, z) in R^3 mid x + 2y = 0 e x - z = 0 é um subespaço do espaço vetorial I = R^3, pois satisfaz todas as três condições necessárias: contém o vetor zero, é fechado na adição e é fechado na multiplicação por escalar.

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