Valor ( 2.0 pontos) Verifique se os subconjuntos abaixo sāo subespaços do espaço vetorial I: Justifique sua resposta
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que verificar se um certo conjunto chamado
é um subespaço do espaço vetorial
. Para isso, vamos precisar entender o que caracteriza um subespaço e aplicar essas regras para ver se
se encaixa.
Passo 2
Primeiro, o que é um subespaço? Um subespaço de um espaço vetorial precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: O vetor
deve estar no conjunto. - Fechado na adição: Se você pegar dois vetores que estão no conjunto, a soma deles também precisa estar no conjunto.
- Fechado na multiplicação por escalar: Se você pegar um vetor no conjunto e multiplicar por qualquer número real, o resultado também deve estar no conjunto.
Vamos verificar cada uma dessas condições para
.
Passo 3
1. Contém o vetor zero
Vamos ver se
está em
. Substituindo na definição de
:
-
✅ -
✅
Então, o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Fechado na adição
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
, digamos
e
. Pelo que
exige:
-
e -
e
Vamos somar esses dois vetores:
.
Agora, verificamos se esse novo vetor também satisfaz as condições:
-
✅ -
✅
Então, a soma de dois vetores de
também está em
.
Passo 5
3. Fechado na multiplicação por escalar
Vamos pegar um vetor qualquer em
, digamos
, e um escalar
. Multiplicando o vetor por
, temos
.
Agora, verificamos se esse novo vetor também satisfaz as condições:
-
✅ -
✅
Então, o vetor multiplicado por um escalar também está em
.
Resposta
Sim, o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
, pois satisfaz todas as três condições necessárias: contém o vetor zero, é fechado na adição e é fechado na multiplicação por escalar.