Valor ( 2.0 pontos) Verifique que o conjunto é una base de e determine as coordenadas de na base
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é o conjunto e o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau até 3 com coeficientes reais. Nosso objetivo é verificar se é uma base para e, se for, encontrar as coordenadas do polinômio nessa base. Para isso, vamos precisar entender conceitos de bases, independência linear e combinação linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, precisamos verificar se os polinômios em são linearmente independentes e se eles conseguem gerar qualquer polinômio de grau até 3.
Passo 3
Para verificar a independência linear, vamos supor que uma combinação linear dos vetores de resulte no vetor zero (neste caso, o polinômio zero). Ou seja, queremos encontrar se existem escalares tais que:
Isso se traduz na equação:
Para que isso seja válido para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero:
Resolvendo esse sistema, vemos que , e . Substituindo esses valores na primeira equação, obtemos . Isso mostra que a única solução é a trivial, ou seja, os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Agora, como tem 4 vetores e também tem dimensão 4 (já que os polinômios de grau até 3 formam um espaço vetorial de dimensão 4), concluímos que é uma base para .
Passo 5
Para encontrar as coordenadas de a cdot 1 + b cdot (x + 1) + c cdot (x^2 + 1) + d cdot x^3 = x^2 + x^3 na base a + b x + b + c x^2 + c + d x^3 = x^3 + x^2 , precisamos expressar esse polinômio como uma combinação linear dos vetores de (a + b + c) + b x + c x^2 + d x^3 = x^3 + x^2 . Ou seja, queremos encontrar escalares a + b + c = 0 b = 0 c = 1 d = 1 tais que:
a + 0 + 1 = 0 Rightarrow a = -1
Vamos expandir a equação:
Agrupando os termos semelhantes:
Comparando os coeficientes:
Resolvendo, temos , e . Substituindo na primeira equação: