Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma base para a soma dos subespaços e em . Esses subespaços são definidos por algumas equações lineares. Para resolver isso, vamos precisar saber como somar subespaços e como encontrar uma base para o resultado dessa soma.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada subespaço representa:
Subespaço :
Como , a primeira equação fica , ou seja, . Então, qualquer vetor em tem a forma , onde pode ser qualquer número real. Podemos escrever isso como .
Subespaço :
Aqui, . Então, qualquer vetor em tem a forma , onde e podem ser quaisquer números reais. Podemos escrever isso como .
Passo 3
Agora, vamos encontrar a soma dos subespaços . Isso significa todo vetor que pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de .
Vamos pegar um vetor geral de : e um vetor geral de : .
A soma desses vetores é:
Passo 4
Para encontrar uma base para , precisamos expressar essa soma em termos de combinações lineares de vetores básicos.
Vamos reescrever a soma:
Então, os vetores , e geram .
Passo 5
Agora, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, eles formam uma base.
Vamos montar a matriz com esses vetores como colunas: