Considere os seguintes subespaços de R^3.
Pii=(x, y z) in R^3 mid x+y-z=0 ; x=0 e W2=(x, y z) in R^3 mid x-z=0
Ache uma base de I1+W2;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma base para a soma dos subespaços e em . Esses subespaços são definidos por algumas equações lineares. Para resolver isso, vamos precisar saber como somar subespaços e como encontrar uma base para o resultado dessa soma.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada subespaço representa:
  • Subespaço Pii = (x, y, z) in R^3 mid x + y - z = 0 ; , x = 0 :
    W2 = (x, y, z) in R^3 mid x - z = 0
    Como , a primeira equação fica , ou seja, . Então, qualquer vetor em tem a forma , onde pode ser qualquer número real. Podemos escrever isso como .
  • Subespaço :
    Aqui, . Então, qualquer vetor em tem a forma , onde e podem ser quaisquer números reais. Podemos escrever isso como .

Passo 3

Agora, vamos encontrar a soma dos subespaços (0 + z, , y1 + y2, , y1 + z) = (z, , y1 + y2, , y1 + z) . Isso significa todo vetor que pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de .
Vamos pegar um vetor geral de : e um vetor geral de : .
A soma desses vetores é:

Passo 4

Para encontrar uma base para (z, , y1 + y2, , y1 + z) = z(1, 0, 1) + y1(0, 1, 1) + y2(0, 1, 0) , precisamos expressar essa soma em termos de combinações lineares de vetores básicos.
Vamos reescrever a soma:
Então, os vetores , e geram .

Passo 5

Agora, vamos verificar se esses vetores são linearmente independentes. Se forem, eles formam uma base.
Vamos montar a matriz com esses vetores como colunas:
1 & 0 & 0 0 & 1 & 1 1 & 1 & 0
Calculando o determinante:
det = 1 cdot (1 cdot 0 - 1 cdot 1) - 0 + 0 = 1 cdot (-1) = -1 neq 0
Como o determinante é diferente de zero, os vetores são linearmente independentes.

Resposta

Uma base para , (1, 0, 1), , (0, 1, 1), , (0, 1, 0) , �� formada pelos vetores , e .

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