Valor ( 2.0 pontos) Sejam B=(-1: 2) cdot(1: 0)) uma bases ordenada para R^2. Determine uma base C do mesmo espaço tal que a matriz de mudança da mudança da base C para B é
[I]B^C=(cc 1 & -1 2 & 1 )

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma base ordenada [I]B^C = 1 & -1 2 & 1 para o espaço . O objetivo aqui é encontrar uma outra base para de forma que a matriz de mudança de base de para seja:
Vamos precisar entender como funciona a mudança de base e como essa matriz está relacionada às novas vetores da base .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz de mudança de base. Se temos duas bases e para o mesmo espaço vetorial, a matriz de mudança de base de para , denotada por , nos mostra como expressar cada vetor de na base .
Mais especificamente, as colunas dessa matriz são as coordenadas dos vetores de em relação à base .

Passo 3

Então, para encontrar os vetores da base 1 2 , vamos usar as colunas da matriz -1 1 . A primeira coluna é c1 = 1 cdot b1 + 2 cdot b2 c2 = -1 cdot b1 + 1 cdot b2 e a segunda coluna é .
Isso significa que:
Onde e são os vetores da base .

Passo 4

Vamos calcular cada vetor de c1 = 1 cdot (-1, 2) + 2 cdot (1, 0) = (-1 + 2, 2 + 0) = (1, 2) :
Para c2 = -1 cdot (-1, 2) + 1 cdot (1, 0) = (1 + 1, -2 + 0) = (2, -2) :
Para :

Resposta

A base procurada é .

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