Valor ( 2.0 pontos) Sejam
uma bases ordenada para
. Determine uma base
do mesmo espaço tal que a matriz de mudança da mudança da base
para
é
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma base ordenada
para o espaço
. O objetivo aqui é encontrar uma outra base
para
de forma que a matriz de mudança de base de
para
seja:
Vamos precisar entender como funciona a mudança de base e como essa matriz está relacionada às novas vetores da base
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma matriz de mudança de base. Se temos duas bases
e
para o mesmo espaço vetorial, a matriz de mudança de base de
para
, denotada por
, nos mostra como expressar cada vetor de
na base
.
Mais especificamente, as colunas dessa matriz são as coordenadas dos vetores de
em relação à base
.
Passo 3
Então, para encontrar os vetores da base
, vamos usar as colunas da matriz
. A primeira coluna é
e a segunda coluna é
.
Isso significa que:
Onde
e
são os vetores da base
.
Passo 4
Vamos calcular cada vetor de
:
Para
:
Para
:
Resposta
A base
procurada é
.