Considere os seguintes subespaços do R^4
S1=(a, b, c, d) in R^4: a+b+c=0
e
S2=(a, b, c, d) in R^4: a-2 b=0 e c=3 d
a) Determinar dim S1 e uma base de S1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a dimensão do subespaço e também encontrar uma base para ele. Pra fazer isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais e como encontrar bases e dimensões.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o subespaço . Ele é definido por todos os vetores em que satisfazem a equação . Isso significa que nem todos os quatro componentes são independentes; há uma relação entre eles.

Passo 3

Para encontrar a dimensão de , precisamos identificar quantas variáveis são livres, ou seja, quantas componentes dos vetores podemos escolher livremente sem restrição. A equação nos dá uma restrição, então uma das variáveis pode ser expressa em termos das outras.

Passo 4

Vamos resolver a equação a = -b - c para uma das variáveis, digamos, (-b - c, b, c, d) :
Agora, podemos expressar qualquer vetor em como:

Passo 5

Observamos que , e são variáveis livres. Isso significa que podemos escolher valores livres para essas três componentes, e será determinado de acordo. Portanto, a dimensão de é 3.

Passo 6

Para encontrar uma base de (-b - c, b, c, d) = b cdot (-1, 1, 0, 0) + c cdot (-1, 0, 1, 0) + d cdot (0, 0, 0, 1) , vamos expressar o vetor como uma combinação linear das variáveis livres:
Os vetores usados nos coeficientes são as direções que formam a base.

Resposta

A dimensão de , (-1, 1, 0, 0), (-1, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1) , é 3 e uma base para é formada pelos vetores:

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