Considere os seguintes subespaços do
e
a) Determinar
e uma base de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente determinar a dimensão do subespaço
e também encontrar uma base para ele. Pra fazer isso, vamos usar conceitos de álgebra linear sobre subespaços vetoriais e como encontrar bases e dimensões.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o subespaço
. Ele é definido por todos os vetores
em
que satisfazem a equação
. Isso significa que nem todos os quatro componentes são independentes; há uma relação entre eles.
Passo 3
Para encontrar a dimensão de
, precisamos identificar quantas variáveis são livres, ou seja, quantas componentes dos vetores podemos escolher livremente sem restrição. A equação
nos dá uma restrição, então uma das variáveis pode ser expressa em termos das outras.
Passo 4
Vamos resolver a equação
para uma das variáveis, digamos,
:
Agora, podemos expressar qualquer vetor
em
como:
Passo 5
Observamos que
,
e
são variáveis livres. Isso significa que podemos escolher valores livres para essas três componentes, e
será determinado de acordo. Portanto, a dimensão de
é 3.
Passo 6
Para encontrar uma base de
, vamos expressar o vetor
como uma combinação linear das variáveis livres:
Os vetores usados nos coeficientes são as direções que formam a base.
Resposta
A dimensão de
é 3 e uma base para
é formada pelos vetores:
Exercícios relacionados
Dadas as superfícies
e os planos
abaixo, encontre:
;
Verifique que a equação da hipérbole com focos
e
e satisfaz
, onde
é
, com
.
Dadas as superfícies
e os planos
abaixo, encontre: a projeção de
no plano
;
Dadas as superfícies
e os planos
abaixo, encontre: um esboço gráfico das projeção do item b.