Dadas as superfícies
e os planos
abaixo, encontre: um esboço gráfico das projeção do item b.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma superfície
e um plano
. O conteúdo envolvido aqui é Geometria Analítica, especificamente a projeção de uma superfície sobre um plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como projetar uma superfície em um plano específico e como representar graficamente essa projeção.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície
. A equação
é uma espécie de quadricada, que pode representar hiperboloide ou elipsoide, dependendo dos sinais e coeficientes. Vamos simplificar dividindo todos os termos por 16:
Isso mostra que a superfície é um hiperboloide de duas folhas, já que temos termos com sinais diferentes.
Passo 3
Agora, queremos projetar essa superfície sobre o plano
. Projetar uma superfície num plano significa encontrar todos os pontos da superfície
que, quando “olhados” perpendicularmente para
, caem dentro desse plano. Como
é o plano horizontal
, a projeção vai considerar como a superfície se “aponta” para esse nível de
.
Passo 4
Para encontrar a projeção, substituímos
na equação da superfície
:
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Podemos reescrever isso como:
Passo 5
A equação
representa uma hiperbole no plano
. Para esboçar essa projeção, identificamos que é uma hiperbole centralizada na origem com eixos ao longo das coordenadas
e
.
Vamos identificar os interceptos:
- Para
: → → - Para
: , que não tem solução real, indicando que a hiperbole abre ao longo do eixo .
Resposta
Então, o esboço gráfico da projeção da superfície
no plano
é uma hiperbole centrada na origem, com vértices em
e abrindo ao longo do eixo
.
Exercícios relacionados
Dadas as superfícies
e os planos
abaixo, encontre: a projeção de
no plano
;
Considere os seguintes subespaços do
e
a) Determinar
e uma base de
.
Considerar, no
, as bases
a) Determinar a matriz
de mudança de base de
para
.
Esboce o gráfico da cônica
.