Dadas as superfícies e os planos abaixo, encontre: um esboço gráfico das projeção do item b.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma superfície e um plano . O conteúdo envolvido aqui é Geometria Analítica, especificamente a projeção de uma superfície sobre um plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como projetar uma superfície em um plano específico e como representar graficamente essa projeção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície . A equação é uma espécie de quadricada, que pode representar hiperboloide ou elipsoide, dependendo dos sinais e coeficientes. Vamos simplificar dividindo todos os termos por 16:
Isso mostra que a superfície é um hiperboloide de duas folhas, já que temos termos com sinais diferentes.

Passo 3

Agora, queremos projetar essa superfície sobre o plano . Projetar uma superfície num plano significa encontrar todos os pontos da superfície que, quando “olhados” perpendicularmente para , caem dentro desse plano. Como é o plano horizontal , a projeção vai considerar como a superfície se “aponta” para esse nível de .

Passo 4

Para encontrar a projeção, substituímos na equação da superfície :
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Podemos reescrever isso como:

Passo 5

A equação representa uma hiperbole no plano . Para esboçar essa projeção, identificamos que é uma hiperbole centralizada na origem com eixos ao longo das coordenadas e .
Vamos identificar os interceptos:
  • Para :
  • Para : , que não tem solução real, indicando que a hiperbole abre ao longo do eixo .

Resposta

Então, o esboço gráfico da projeção da superfície no plano é uma hiperbole centrada na origem, com vértices em e abrindo ao longo do eixo .

Exercícios relacionados

Dadas as superfícies e os planos abaixo, encontre: a projeção de no plano ;
Considere os seguintes subespaços do
e
a) Determinar e uma base de .
Considerar, no , as bases
a) Determinar a matriz de mudança de base de para .
Esboce o gráfico da cônica .