Dadas as superfícies S e os planos Pi abaixo, encontre: um esboço gráfico das projeção do item b. S: 2 x^2-4 y^2+2 z^2=16 ; Pi: z=4

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma superfície e um plano . O conteúdo envolvido aqui é Geometria Analítica, especificamente a projeção de uma superfície sobre um plano. Para resolver isso, vamos precisar entender como projetar uma superfície em um plano específico e como representar graficamente essa projeção.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a superfície x^28 - y^24 + z^28 = 1 . A equação é uma espécie de quadricada, que pode representar hiperboloide ou elipsoide, dependendo dos sinais e coeficientes. Vamos simplificar dividindo todos os termos por 16:
Isso mostra que a superfície é um hiperboloide de duas folhas, já que temos termos com sinais diferentes.

Passo 3

Agora, queremos projetar essa superfície sobre o plano . Projetar uma superfície num plano significa encontrar todos os pontos da superfície que, quando “olhados” perpendicularmente para , caem dentro desse plano. Como é o plano horizontal , a projeção vai considerar como a superfície se “aponta” para esse nível de .

Passo 4

Para encontrar a projeção, substituímos 2x^2 - 4y^2 + 2(4)^2 = 16 2x^2 - 4y^2 + 32 = 16 2x^2 - 4y^2 = -16 na equação da superfície x^2 - 2y^2 = -8 :
x^2 - 2y^2 + 8 = 0
Dividindo todos os termos por 2 para simplificar:
Podemos reescrever isso como:

Passo 5

A equação representa uma hiperbole no plano . Para esboçar essa projeção, identificamos que é uma hiperbole centralizada na origem com eixos ao longo das coordenadas e .
Vamos identificar os interceptos:
  • Para :
  • Para : , que não tem solução real, indicando que a hiperbole abre ao longo do eixo .

Resposta

Então, o esboço gráfico da projeção da superfície no plano é uma hiperbole centrada na origem, com vértices em e abrindo ao longo do eixo .

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