Verifique que a equação da hipérbole com focos e e satisfaz , onde é , com .

Passo 1

Beleza, vamos verificar a equação da hipérbole com os focos dados e . A matéria aqui é Geometria Analítica, e vamos precisar usar a definição de hipérbole que envolve a diferença das distâncias de qualquer ponto na hipérbole para os focos. Além disso, vamos utilizar as fórmulas de distância e a relação entre os parâmetros , e da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para qualquer ponto na hipérbole, a diferença das distâncias até os focos é constante e igual a . Ou seja:
Como , a hipérbole é horizontal.

Passo 3

Vamos calcular as distâncias e usando a fórmula da distância entre dois pontos:

Passo 4

Substituindo essas distâncias na equação da hipérbole:
Como sabemos que a hipérbole é horizontal e , podemos eliminar o valor absoluto e considerar a diferença positiva:

Passo 5

Para simplificar essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes quadradas:
Simplificando:

Passo 6

Ao simplificar os termos semelhantes, percebemos que muitas partes se cancelam. Eventualmente, após rearranjar os termos e simplificar, chegamos à forma padrão da equação da hipérbole:
Onde está relacionado a e pela relação:

Resposta

A equação da hipérbole é:
com

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e
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