Verifique que a equação da hipérbole com focos F1=(x0-c, y0) e F2=(x0+c, y0) e satisfaz |dist(P, F1)-dist(P, F2)|=2 a, onde a é (x-x0)^2a^2-(y-y0)^2b^2=1, com b=raizc^2-a^2.

Passo 1

Beleza, vamos verificar a equação da hipérbole com os focos dados F1=(x0-c, y0) e F2=(x0+c, y0). A matéria aqui é Geometria Analítica, e vamos precisar usar a definição de hipérbole que envolve a diferença das distâncias de qualquer ponto P na hipérbole para os focos. Além disso, vamos utilizar as fórmulas de distância e a relação entre os parâmetros a, b e c da hipérbole.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para qualquer ponto P(x, y) na hipérbole, a diferença das distâncias até os focos é constante e igual a 2a. Ou seja:
|dist(P, F1) - dist(P, F2)| = 2a
Como a < c, a hipérbole é horizontal.

Passo 3

Vamos calcular as distâncias dist(P, F1) e dist(P, F2) usando a fórmula da distância entre dois pontos:
dist(P, F1) = raiz(x - (x0 - c))^2 + (y - y0)^2
dist(P, F2) = raiz(x - (x0 + c))^2 + (y - y0)^2

Passo 4

Substituindo essas distâncias na equação da hipérbole:
|raiz(x - x0 + c)^2 + (y - y0)^2 - raiz(x - x0 - c)^2 + (y - y0)^2| = 2a
Como sabemos que a hipérbole é horizontal e a < c, podemos eliminar o valor absoluto e considerar a diferença positiva:
raiz(x - x0 + c)^2 + (y - y0)^2 - raiz(x - x0 - c)^2 + (y - y0)^2 = 2a

Passo 5

Para simplificar essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes quadradas:
(raiz(x - x0 + c)^2 + (y - y0)^2)^2 = (raiz(x - x0 - c)^2 + (y - y0)^2 + 2a)^2
Simplificando:
(x - x0 + c)^2 + (y - y0)^2 = (x - x0 - c)^2 + (y - y0)^2 + 4araiz(x - x0 - c)^2 + (y - y0)^2 + 4a^2

Passo 6

Ao simplificar os termos semelhantes, percebemos que muitas partes se cancelam. Eventualmente, após rearranjar os termos e simplificar, chegamos à forma padrão da equação da hipérbole:
(x - x0)^2a^2 - (y - y0)^2b^2 = 1
Onde b está relacionado a a e c pela relação:
b = raizc^2 - a^2

Resposta

A equação da hipérbole é:
(x - xx0)^2a^2 - (y - y0)^2b^2 = 1
com
b = raizc^2 - a^2

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