Verifique que a equação da hipérbole com focos e e satisfaz , onde é , com .
Passo 1
Beleza, vamos verificar a equação da hipérbole com os focos dados e . A matéria aqui é Geometria Analítica, e vamos precisar usar a definição de hipérbole que envolve a diferença das distâncias de qualquer ponto na hipérbole para os focos. Além disso, vamos utilizar as fórmulas de distância e a relação entre os parâmetros , e da hipérbole.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para qualquer ponto na hipérbole, a diferença das distâncias até os focos é constante e igual a . Ou seja:
Como , a hipérbole é horizontal.
Passo 3
Vamos calcular as distâncias e usando a fórmula da distância entre dois pontos:
Passo 4
Substituindo essas distâncias na equação da hipérbole:
Como sabemos que a hipérbole é horizontal e , podemos eliminar o valor absoluto e considerar a diferença positiva:
Passo 5
Para simplificar essa equação, vamos elevar ambos os lados ao quadrado para eliminar as raízes quadradas:
Simplificando:
Passo 6
Ao simplificar os termos semelhantes, percebemos que muitas partes se cancelam. Eventualmente, após rearranjar os termos e simplificar, chegamos à forma padrão da equação da hipérbole: