Dadas as superfícies e os planos abaixo, encontre: ;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a interseção entre uma superfície quadrática e um plano . Isso significa que vamos descobrir quais pontos estão em ambos ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra, substituindo a equação do plano na equação da superfície e resolvendo para as variáveis restantes.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar as equações que temos:
Como o plano nos dá o valor de , vamos substituir na equação de para simplificar.

Passo 3

Substituindo na equação de :
Calculando :
Então, a equação fica:

Passo 4

Agora, vamos isolar os termos com e :
Para simplificar, vamos dividir toda a equação por 2:
Podemos reescrever isso como:

Passo 5

Essa equação representa uma curva no plano . Para identificar que tipo de curva é, podemos rearranjar a equação:
Dividindo ambos os lados por 8:
Isso é a equação de uma hipérbole.

Resposta

A interseção é a hipérbole definida pela equação:

Exercícios relacionados

Verifique que a equação da hipérbole com focos e e satisfaz , onde é , com .
Dadas as superfícies e os planos abaixo, encontre: a projeção de no plano ; ;
Considere os seguintes subespaços do
e
a) Determinar e uma base de .
Dadas as superfícies e os planos abaixo, encontre: a projeção de no plano ;