Dadas as superfícies
e os planos
abaixo, encontre:
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a interseção entre uma superfície quadrática
e um plano
. Isso significa que vamos descobrir quais pontos estão em ambos ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra, substituindo a equação do plano na equação da superfície e resolvendo para as variáveis restantes.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar as equações que temos:
Como o plano
nos dá o valor de
, vamos substituir
na equação de
para simplificar.
Passo 3
Substituindo
na equação de
:
Calculando
:
Então, a equação fica:
Passo 4
Agora, vamos isolar os termos com
e
:
Para simplificar, vamos dividir toda a equação por 2:
Podemos reescrever isso como:
Passo 5
Essa equação representa uma curva no plano
. Para identificar que tipo de curva é, podemos rearranjar a equação:
Dividindo ambos os lados por 8:
Isso é a equação de uma hipérbole.
Resposta
A interseção
é a hipérbole definida pela equação:
Exercícios relacionados
Verifique que a equação da hipérbole com focos
e
e satisfaz
, onde
é
, com
.
Dadas as superfícies
e os planos
abaixo, encontre: a projeção de
no plano
;
;
Considere os seguintes subespaços do
e
a) Determinar
e uma base de
.
Dadas as superfícies
e os planos
abaixo, encontre: a projeção de
no plano
;