Dadas as superfícies S e os planos Pi abaixo, encontre: S cap Pi; S: 2 x^2-4 y^2+2 z^2=16 ; Pi: z=4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a interseção entre uma superfície quadrática e um plano . Isso significa que vamos descobrir quais pontos estão em ambos ao mesmo tempo. Para isso, vamos usar um pouco de álgebra, substituindo a equação do plano na equação da superfície e resolvendo para as variáveis restantes.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar as equações que temos:
S: 2x^2 - 4y^2 + 2z^2 = 16
Pi: z = 4
Como o plano nos dá o valor de , vamos substituir na equação de para simplificar.

Passo 3

Substituindo 2x^2 - 4y^2 + 2(4)^2 = 16 na equação de 2 times 16 = 32 :
2x^2 - 4y^2 + 32 = 16
Calculando :
Então, a equação fica:

Passo 4

Agora, vamos isolar os termos com 2x^2 - 4y^2 = 16 - 32 e 2x^2 - 4y^2 = -16 :
x^2 - 2y^2 = -8
x^2 - 2y^2 + 8 = 0
Para simplificar, vamos dividir toda a equação por 2:
Podemos reescrever isso como:

Passo 5

Essa equação representa uma curva no plano x^2 - 2y^2 = -8 implies 2y^2 - x^2 = 8 . Para identificar que tipo de curva é, podemos rearranjar a equação:
2y^28 - x^28 = 1 implies y^24 - x^28 = 1
Dividindo ambos os lados por 8:
Isso é a equação de uma hipérbole.

Resposta

A interseção y^24 - x^28 = 1 é a hipérbole definida pela equação:

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