Dadas as superfícies S e os planos Pi abaixo, encontre: a projeção de S cap Pi no plano x circ y; S: 2 x^2-4 y^2+2 z^2=16 ; Pi: z=4

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma superfície definida pela equação e um plano definido por . Queremos encontrar a projeção da interseção dessas duas superfícies no plano . Para isso, vamos precisar usar conceitos de interseção de superfícies e projeção de curvas no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a interseção entre a superfície 2x^2 - 4y^2 + 2(4)^2 = 16 e o plano . Como é definido por , substituímos por 4 na equação de :

Passo 3

Agora, vamos simplificar a equação substituída:
2x^2 - 4y^2 + 2 times 16 = 16 2x^2 - 4y^2 + 32 = 16

Passo 4

Vamos isolar os termos com 2x^2 - 4y^2 = 16 - 32 2x^2 - 4y^2 = -16 e :

Passo 5

Podemos simplificar dividindo todos os termos por 2:
x^2 - 2y^2 = -8

Passo 6

Para facilitar a interpretação da projeção no plano x^2 - 2y^2 = -8 x^2 = 2y^2 - 8 , vamos rearranjar a equação:

Passo 7

A projeção no plano x^2 - 2y^2 = -8 elimina a variável x^2 = 2y^2 - 8 , então a equação da interseção projetada no plano é:
Podemos também escrever como:

Resposta

A projeção de no plano é dada pela equação .

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