Considere os seguintes subespaços do R^4
S1=(a, b, c, d) in R^4: a+b+c=0
e
S2=(a, b, c, d) in R^4: a-2 b=0 e c=3 d
b) Determinar dim S2 e uma base de S2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de álgebra linear sobre subespaços de . A gente vai focar no subespaço , que é definido por duas equações: e . Nosso objetivo aqui é descobrir a dimensão desse subespaço e encontrar uma base para ele. Para isso, vamos precisar entender como essas equações restringem os vetores em e identificar as variáveis livres.

Passo 2

Primeiro, vamos interpretar as equações que definem :
Essas equações nos dizem que os componentes e dos vetores em são dependentes dos componentes e , respectivamente. Isso significa que e podem ser escolhidos livremente, e e serão determinados por e .

Passo 3

Vamos expressar um vetor geral (a, b, c, d) = (2b, b, 3d, d) em usando as relações que encontramos:
  • Como , substituímos isso.
  • Como , substituímos também.
Então, qualquer vetor em pode ser escrito como:

Passo 4

Agora, vamos separar esse vetor em termos das variáveis livres (2b, b, 3d, d) = b cdot (2, 1, 0, 0) + d cdot (0, 0, 3, 1) e :
Isso mostra que qualquer vetor em é uma combinação linear dos vetores e .

Passo 5

Para determinar a dimensão de , contamos quantas variáveis são livres. Aqui, e são livres, então a dimensão é 2. Além disso, os vetores e formam uma base para , já que são linearmente independentes e geram todo o subespaço.

Resposta

A dimensão de é 2 e uma base para é composta pelos vetores e .

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