Considere os seguintes subespaços do
e
b) Determinar
e uma base de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de álgebra linear sobre subespaços de
. A gente vai focar no subespaço
, que é definido por duas equações:
e
. Nosso objetivo aqui é descobrir a dimensão desse subespaço e encontrar uma base para ele. Para isso, vamos precisar entender como essas equações restringem os vetores em
e identificar as variáveis livres.
Passo 2
Primeiro, vamos interpretar as equações que definem
:
Essas equações nos dizem que os componentes
e
dos vetores em
são dependentes dos componentes
e
, respectivamente. Isso significa que
e
podem ser escolhidos livremente, e
e
serão determinados por
e
.
Passo 3
Vamos expressar um vetor geral
em
usando as relações que encontramos:
- Como
, substituímos isso. - Como
, substituímos também.
Então, qualquer vetor em
pode ser escrito como:
Passo 4
Agora, vamos separar esse vetor em termos das variáveis livres
e
:
Isso mostra que qualquer vetor em
é uma combinação linear dos vetores
e
.
Passo 5
Para determinar a dimensão de
, contamos quantas variáveis são livres. Aqui,
e
são livres, então a dimensão é 2. Além disso, os vetores
e
formam uma base para
, já que são linearmente independentes e geram todo o subespaço.
Resposta
A dimensão de
é 2 e uma base para
é composta pelos vetores
e
.
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Esboce o gráfico da cônica
.
Considerar, no
, as bases
a) Determinar a matriz
de mudança de base de
para
.
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e
. Faça um esboço de seu gráfico.
Determine as coordenadas do centro da elipse
e faça um esboço do seu gráfico.