Determine a equação da elipse com centro na origem, eixo maior horizontal e que passa pelos pontos e . Faça um esboço de seu gráfico.

Passo 1

Então, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que encontrar a equação de uma elipse que tem o centro na origem (0,0), o eixo maior é horizontal, e ela passa por dois pontos específicos: e . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como é a equação geral da elipse e usar as informações dadas para determinar os seus parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação padrão de uma elipse com centro na origem e eixo maior horizontal:
Aqui, é o semi-eixo maior (distância do centro até a ponta no eixo horizontal) e é o semi-eixo menor (distância do centro até a ponta no eixo vertical).

Passo 3

Sabemos que a elipse passa pelo ponto . Vamos substituir esses valores na equação para encontrar uma relação entre e :
Agora já sabemos que .

Passo 4

Agora, vamos usar o segundo ponto . Substituindo esses valores na equação da elipse:
Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 5

Isolando :
Então, .

Passo 6

Com os valores de e encontrados, podemos escrever a equação completa da elipse:

Resposta

A equação da elipse é:
E o esboço do gráfico seria uma elipse centrada na origem, mais alongada horizontalmente, com interseções no eixo x em e no eixo y em .

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Considere os seguintes subespaços do
e
b) Determinar e uma base de .
Esboce o gráfico da cônica .
Determine as coordenadas do centro da elipse e faça um esboço do seu gráfico.
Determine o vértice da parábola e represente-a geometricamente.