Determine a equação da elipse com centro na origem, eixo maior horizontal e que passa pelos pontos
e
. Faça um esboço de seu gráfico.
Passo 1
Então, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que encontrar a equação de uma elipse que tem o centro na origem (0,0), o eixo maior é horizontal, e ela passa por dois pontos específicos:
e
. Para resolver isso, vamos precisar lembrar como é a equação geral da elipse e usar as informações dadas para determinar os seus parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a equação padrão de uma elipse com centro na origem e eixo maior horizontal:
Aqui,
é o semi-eixo maior (distância do centro até a ponta no eixo horizontal) e
é o semi-eixo menor (distância do centro até a ponta no eixo vertical).
Passo 3
Sabemos que a elipse passa pelo ponto
. Vamos substituir esses valores na equação para encontrar uma relação entre
e
:
Agora já sabemos que
.
Passo 4
Agora, vamos usar o segundo ponto
. Substituindo esses valores na equação da elipse:
Vamos resolver essa equação para encontrar
.
Passo 5
Isolando
:
Então,
.
Passo 6
Com os valores de
e
encontrados, podemos escrever a equação completa da elipse:
Resposta
A equação da elipse é:
E o esboço do gráfico seria uma elipse centrada na origem, mais alongada horizontalmente, com interseções no eixo x em
e no eixo y em
.
Exercícios relacionados
Considere os seguintes subespaços do
e
b) Determinar
e uma base de
.
Esboce o gráfico da cônica
.
Determine as coordenadas do centro da elipse
e faça um esboço do seu gráfico.
Determine o vértice da parábola
e represente-a geometricamente.