Determine a equação da elipse com centro na origem, eixo maior horizontal e que passa pelos pontos (0, raiz3) e (raiz163, raiz2). Faça um esboço de seu gráfico.

Passo 1

Então, vamos começar resumindo o que a questão pede. Temos que encontrar a equação de uma elipse que tem o centro na origem (0,0), o eixo maior é horizontal, e ela passa por dois pontos específicos: e . Para resolver isso, vamos precisar lembrar como é a equação geral da elipse e usar as informações dadas para determinar os seus parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação padrão de uma elipse com centro na origem e eixo maior horizontal:
x^2a^2 + y^2b^2 = 1
Aqui, é o semi-eixo maior (distância do centro até a ponta no eixo horizontal) e é o semi-eixo menor (distância do centro até a ponta no eixo vertical).

Passo 3

Sabemos que a elipse passa pelo ponto 0^2a^2 + (raiz3)^2b^2 = 1 0 + 3b^2 = 1 3b^2 = 1 b^2 = 3 b = raiz3 . Vamos substituir esses valores na equação para encontrar uma relação entre e :
Agora já sabemos que .

Passo 4

Agora, vamos usar o segundo ponto (raiz163)^2a^2 + (raiz2)^23 = 1 163a^2 + 23 = 1 . Substituindo esses valores na equação da elipse:
Vamos resolver essa equação para encontrar .

Passo 5

Isolando 163a^2 = 1 - 23 163a^2 = 13 16 = a^2 a = 4 :
Então, .

Passo 6

Com os valores de x^216 + y^23 = 1 e encontrados, podemos escrever a equação completa da elipse:

Resposta

A equação da elipse é:
x^216 + y^23 = 1
E o esboço do gráfico seria uma elipse centrada na origem, mais alongada horizontalmente, com interseções no eixo x em e no eixo y em .

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