Esboce o gráfico da cônica x^2-2 y^2=16.

Passo 1

Então, a gente tem o exercício de esboçar o gráfico da cônica . Vamos trabalhar com o conteúdo de cônicas, especificamente com hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão da hipérbole e identificar seus elementos principais, como vértices e assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da hipérbole. A forma padrão de uma hipérbole que abre horizontalmente é:
(x - h)^2a^2 - (y - k)^2b^2 = 1
No nosso caso, a equação é x^216 - 2y^216 = 1 implies x^216 - y^28 = 1 . Vamos dividir todos os termos por 16 para igualar a 1:
Agora, está na forma padrão, onde , , e .

Passo 3

Identificamos os valores de a = raiz16 = 4 b = raiz8 approx 2.83 e :
Aqui, representa a distância do centro até os vértices na direção horizontal, já que a hipérbole abre horizontalmente.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os vértices da hipérbole. Como o centro é Vértices: (4, 0) e (-4, 0) , os vértices estão a uma distância para a direita e para a esquerda do centro:
é

Passo 5

Em seguida, vamos determinar as assíntotas da hipérbole. As assíntotas são linhas que a hipérbole se aproxima quando y = pm bax e y = pm raiz84x = pm 2raiz24x = pm raiz22x tendem ao infinito. A fórmula das assíntotas para uma hipérbole horizontal é:
Substituindo e :

Passo 6

Com todas essas informações, vamos esboçar o gráfico:
  1. Desenhe os eixos e .
  2. Marque o centro da hipérbole no ponto .
  3. Coloque os vértices em e .
  4. Trace as assíntotas e .
  5. Desenhe as duas ramos da hipérbole abrindo para a direita e para a esquerda, aproximando-se das assíntotas.

Resposta

O gráfico da cônica é uma hipérbole com centro na origem, vértices em e , e assíntotas dadas por . A hipérbole abre horizontalmente, se aproximando das assíntotas conforme os ramos se estendem para a direita e para a esquerda.

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