Esboce o gráfico da cônica .

Passo 1

Então, a gente tem o exercício de esboçar o gráfico da cônica . Vamos trabalhar com o conteúdo de cônicas, especificamente com hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão da hipérbole e identificar seus elementos principais, como vértices e assíntotas.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da hipérbole. A forma padrão de uma hipérbole que abre horizontalmente é:
No nosso caso, a equação é . Vamos dividir todos os termos por 16 para igualar a 1:
Agora, está na forma padrão, onde , , e .

Passo 3

Identificamos os valores de e :
Aqui, representa a distância do centro até os vértices na direção horizontal, já que a hipérbole abre horizontalmente.

Passo 4

Agora, vamos encontrar os vértices da hipérbole. Como o centro é , os vértices estão a uma distância para a direita e para a esquerda do centro:
é

Passo 5

Em seguida, vamos determinar as assíntotas da hipérbole. As assíntotas são linhas que a hipérbole se aproxima quando e tendem ao infinito. A fórmula das assíntotas para uma hipérbole horizontal é:
Substituindo e :

Passo 6

Com todas essas informações, vamos esboçar o gráfico:
  1. Desenhe os eixos e .
  2. Marque o centro da hipérbole no ponto .
  3. Coloque os vértices em e .
  4. Trace as assíntotas e .
  5. Desenhe as duas ramos da hipérbole abrindo para a direita e para a esquerda, aproximando-se das assíntotas.

Resposta

O gráfico da cônica é uma hipérbole com centro na origem, vértices em e , e assíntotas dadas por . A hipérbole abre horizontalmente, se aproximando das assíntotas conforme os ramos se estendem para a direita e para a esquerda.

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