Esboce o gráfico da cônica
.
Passo 1
Então, a gente tem o exercício de esboçar o gráfico da cônica
. Vamos trabalhar com o conteúdo de cônicas, especificamente com hipérboles. Para resolver isso, vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão da hipérbole e identificar seus elementos principais, como vértices e assíntotas.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão da hipérbole. A forma padrão de uma hipérbole que abre horizontalmente é:
No nosso caso, a equação é
. Vamos dividir todos os termos por 16 para igualar a 1:
Agora, está na forma padrão, onde
,
,
e
.
Passo 3
Identificamos os valores de
e
:
Aqui,
representa a distância do centro até os vértices na direção horizontal, já que a hipérbole abre horizontalmente.
Passo 4
Agora, vamos encontrar os vértices da hipérbole. Como o centro é
, os vértices estão a uma distância
para a direita e para a esquerda do centro:
Passo 5
Em seguida, vamos determinar as assíntotas da hipérbole. As assíntotas são linhas que a hipérbole se aproxima quando
e
tendem ao infinito. A fórmula das assíntotas para uma hipérbole horizontal é:
Substituindo
e
:
Passo 6
Com todas essas informações, vamos esboçar o gráfico:
- Desenhe os eixos
e . - Marque o centro da hipérbole no ponto
. - Coloque os vértices em
e . - Trace as assíntotas
e . - Desenhe as duas ramos da hipérbole abrindo para a direita e para a esquerda, aproximando-se das assíntotas.
Resposta
O gráfico da cônica
é uma hipérbole com centro na origem, vértices em
e
, e assíntotas dadas por
. A hipérbole abre horizontalmente, se aproximando das assíntotas conforme os ramos se estendem para a direita e para a esquerda.
Exercícios relacionados
Considerar, no
, as bases
a) Determinar a matriz
de mudança de base de
para
.
Dadas as superfícies
e os planos
abaixo, encontre: um esboço gráfico das projeção do item b.
Considere os seguintes subespaços do
e
b) Determinar
e uma base de
.
Determine a equação da elipse com centro na origem, eixo maior horizontal e que passa pelos pontos
e
. Faça um esboço de seu gráfico.