Determine as coordenadas do centro da elipse 9 x^2-72 x+16 y^2=0 e faça um esboço do seu gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos as coordenadas do centro da elipse definida pela equação e também fazer um esboço do gráfico dessa elipse. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses, e precisaremos completar o quadrado para reorganizar a equação na forma padrão da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar o trabalho com os termos de 9x^2 -72x + 16y^2 = 0 e . A equação dada é:
Vamos mover o termo constante para o outro lado da igualdade (nesse caso, não há termo constante, então apenas vamos trabalhar com os termos e ).

Passo 3

Agora, vamos agrupar os termos de 9x^2 -72x + 16y^2 = 0 e os termos de 9x^2 -72x + 16y^2 = 0:
Podemos escrever isso como:

Passo 4

Para completar o quadrado com relação a 9(x^2 -8x) + 16y^2 = 0, vamos fatorar o coeficiente de (-82)^2 = (-4)^2 = 16 que é 9:
9(x^2 -8x +16 -16) + 16y^2 = 0
Agora, completamos o quadrado para o termo dentro do parênteses. Para isso, pegamos o coeficiente de 9(x -4)^2 -144 + 16y^2 = 0, que é -8, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 16 dentro do parênteses:
Isso simplifica para:

Passo 5

Vamos agora isolar os termos constantes:
9(x -4)^2 + 16y^2 = 144
Agora, dividimos tudo por 144 para deixar a equação na forma padrão da elipse:
(x -4)^216 + y^29 = 1

Passo 6

A forma padrão da equação de uma elipse é:
(x-h)^2a^2 + (y-k)^2b^2 = 1
Onde (x -4)^216 + y^29 = 1 são as coordenadas do centro da elipse. Comparando com a nossa equação:
Podemos ver que e .

Resposta

O centro da elipse está nas coordenadas . Além disso, o esboço do gráfico será uma elipse centrada nesse ponto, com o eixo maior ao longo do eixo e o eixo menor ao longo do eixo .

Exercícios relacionados