Determine as coordenadas do centro da elipse e faça um esboço do seu gráfico.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos as coordenadas do centro da elipse definida pela equação e também fazer um esboço do gráfico dessa elipse. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses, e precisaremos completar o quadrado para reorganizar a equação na forma padrão da elipse.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar o trabalho com os termos de e . A equação dada é:
Vamos mover o termo constante para o outro lado da igualdade (nesse caso, não há termo constante, então apenas vamos trabalhar com os termos e ).

Passo 3

Agora, vamos agrupar os termos de e os termos de :
Podemos escrever isso como:

Passo 4

Para completar o quadrado com relação a , vamos fatorar o coeficiente de que é 9:
Agora, completamos o quadrado para o termo dentro do parênteses. Para isso, pegamos o coeficiente de , que é -8, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 16 dentro do parênteses:
Isso simplifica para:

Passo 5

Vamos agora isolar os termos constantes:
Agora, dividimos tudo por 144 para deixar a equação na forma padrão da elipse:

Passo 6

A forma padrão da equação de uma elipse é:
Onde são as coordenadas do centro da elipse. Comparando com a nossa equação:
Podemos ver que e .

Resposta

O centro da elipse está nas coordenadas . Além disso, o esboço do gráfico será uma elipse centrada nesse ponto, com o eixo maior ao longo do eixo e o eixo menor ao longo do eixo .

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Determine a equação da elipse com centro na origem, eixo maior horizontal e que passa pelos pontos e . Faça um esboço de seu gráfico.
Considere os seguintes subespaços do
e
b) Determinar e uma base de .
Determine o vértice da parábola e represente-a geometricamente.
Determine as equações das elipses abaixo.
a) Os focos são e e para cada ponto na elipse temos .