Determine as coordenadas do centro da elipse
e faça um esboço do seu gráfico.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para determinarmos as coordenadas do centro da elipse definida pela equação
e também fazer um esboço do gráfico dessa elipse. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre elipses, e precisaremos completar o quadrado para reorganizar a equação na forma padrão da elipse.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar o trabalho com os termos de
e
. A equação dada é:
Vamos mover o termo constante para o outro lado da igualdade (nesse caso, não há termo constante, então apenas vamos trabalhar com os termos
e
).
Passo 3
Agora, vamos agrupar os termos de
e os termos de
:
Podemos escrever isso como:
Passo 4
Para completar o quadrado com relação a
, vamos fatorar o coeficiente de
que é 9:
Agora, completamos o quadrado para o termo dentro do parênteses. Para isso, pegamos o coeficiente de
, que é -8, dividimos por 2 e elevamos ao quadrado:
Então, adicionamos e subtraímos 16 dentro do parênteses:
Isso simplifica para:
Passo 5
Vamos agora isolar os termos constantes:
Agora, dividimos tudo por 144 para deixar a equação na forma padrão da elipse:
Passo 6
A forma padrão da equação de uma elipse é:
Onde
são as coordenadas do centro da elipse. Comparando com a nossa equação:
Podemos ver que
e
.
Resposta
O centro da elipse está nas coordenadas
. Além disso, o esboço do gráfico será uma elipse centrada nesse ponto, com o eixo maior ao longo do eixo
e o eixo menor ao longo do eixo
.
Exercícios relacionados
Determine a equação da elipse com centro na origem, eixo maior horizontal e que passa pelos pontos
e
. Faça um esboço de seu gráfico.
Considere os seguintes subespaços do
e
b) Determinar
e uma base de
.
Determine o vértice da parábola
e represente-a geometricamente.
Determine as equações das elipses abaixo.
a) Os focos são e
e para cada ponto
na elipse temos
.
a) Os focos são