Consideremos no , os seguintes subespaços vetoriais:
Determine um sistema de geradores de .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre subespaços vetoriais em e pede para encontrarmos um sistema de geradores para a interseção desses subespaços, ou seja, . Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como combinação linear e interseção de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são e . O subespaço é gerado pelos vetores e , enquanto é gerado pelos vetores e . Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores, e o mesmo vale para .
Passo 3
Para encontrar a interseção , precisamos encontrar todos os vetores que pertencem a ambos os subespaços. Ou seja, vamos procurar um vetor que possa ser escrito tanto como:
quanto como:
onde são escalares.
Passo 4
Vamos igualar as duas expressões para o vetor :
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 5
Resolvendo o sistema, da primeira equação temos a = -b. Da segunda e terceira, temos c = b e d = b. Assim, qualquer vetor na interseção pode ser escrito como:
(-b)(1,0,0) + b(1,1,1) = (0, b, b)
Passo 6
Isso mostra que todos os vetores na interseção têm a forma (0, b, b), onde b é um escalar. Podemos escrever isso como:
b(0,1,1)
Portanto, o subespaço W1 cap W2 é gerado pelo vetor (0,1,1).
Resposta
Um sistema de geradores para W1 cap W2 é , (0, 1, 1) ,.