Consideremos no R^3, os seguintes subespaços vetoriais:
W1=[(1,0,0),(1,1,1)] e W2=[(0,1,0),(0,0,1)]
Determine um sistema de geradores de W1 cap W2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre subespaços vetoriais em R^3 e pede para encontrarmos um sistema de geradores para a interseção desses subespaços, ou seja, W1 cap W2. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como combinação linear e interseção de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são W1 e W2. O subespaço W1 é gerado pelos vetores (1,0,0) e (1,1,1), enquanto W2 é gerado pelos vetores (0,1,0) e (0,0,1). Isso significa que qualquer vetor em W1 pode ser escrito como uma combinação linear desses dois vetores, e o mesmo vale para W2.

Passo 3

Para encontrar a interseção W1 cap W2, precisamos encontrar todos os vetores que pertencem a ambos os subespaços. Ou seja, vamos procurar um vetor (x, y, z) que possa ser escrito tanto como:
(x, y, z) = a(1,0,0) + b(1,1,1) em W1
quanto como:
(x, y, z) = c(0,1,0) + d(0,0,1) em W2
onde a, b, c, d são escalares.

Passo 4

Vamos igualar as duas expressões para o vetor (x, y, z):
a(1,0,0) + b(1,1,1) = c(0,1,0) + d(0,0,1)
Isso nos dá o sistema de equações:
a + b = 0 b = c b = d

Passo 5

Resolvendo o sistema, da primeira equação temos a = -b. Da segunda e terceira, temos c = b e d = b. Assim, qualquer vetor na interseção pode ser escrito como:
(-b)(1,0,0) + b(1,1,1) = (0, b, b)

Passo 6

Isso mostra que todos os vetores na interseção têm a forma (0, b, b), onde b é um escalar. Podemos escrever isso como:
b(0,1,1)
Portanto, o subespaço W1 cap W2 é gerado pelo vetor (0,1,1).

Resposta

Um sistema de geradores para W1 cap W2 é , (0, 1, 1) ,.

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