Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar uma base para a soma dos subespaços e dentro de . Para isso, vamos usar conceitos de álgebra linear, como subespaços, bases e soma de subespaços. Vamos precisar entender como representar esses subespaços e combinar suas bases para encontrar a base da soma .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são os subespaços e :
Isso significa que em , o valor de é igual ao de .
Aqui, em , o valor de é igual ao de .
Passo 3
Vamos parametrizar cada subespaço para facilitar a visualização das suas bases.
Para :
Como , podemos expressar em função de .
Vamos deixar e livres.
Assim, qualquer vetor em pode ser escrito como .
Então, podemos expressar como:
Isso nos mostra que uma base para é .
Passo 4
Agora, para :
Como , podemos expressar em função de .
Vamos deixar e livres.
Assim, qualquer vetor em pode ser escrito como .
Podemos escrever como:
Portanto, uma base para é .
Passo 5
Agora queremos encontrar uma base para , que é o conjunto de todos os vetores que podem ser escritos como a soma de um vetor de e um vetor de :
Vamos somar as bases de e :
Então, os vetores candidatos para a base de são .
Passo 6
Para verificar se esses vetores formam uma base, precisamos checar se eles são linearmente independentes. Se forem, então eles formam uma base.
Vamos montar uma matriz com esses vetores como colunas e calcular seu posto:
Aplicando operações de linha para encontrar o posto:
Deixar o primeiro elemento da primeira linha como 1.
Zeramos abaixo e acima desse 1.
Repetimos o processo para as próximas linhas.
Após as operações, percebemos que os vetores são linearmente independentes até uma certa combinação. No entanto, em , não podemos ter mais de 3 vetores linearmente independentes. Portanto, podemos selecionar três desses quatro vetores que são independentes.
Passo 7
Escolhemos os vetores , e . Vamos verificar se são linearmente independentes.
Suponha que exista uma combinação linear:
Isso resulta em:
Portanto, temos:
Como a única solução é , os vetores são linearmente independentes.