integral x raiz[3](4-x^2)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . O conteúdo que vamos usar aqui é cálculo integral, especificamente a técnica de substituição (ou mudança de variável). Vamos precisar identificar uma parte da expressão para substituir por uma variável nova, facilitando assim a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a raiz cúbica para facilitar a visualização. A expressão integral x cdot (4 - x^2)^2/3 , dx pode ser reescrita como . Assim, nossa integral fica:

Passo 3

Agora, vamos escolher uma substituição inteligente. Observando a expressão, notamos que u = 4 - x^2 está elevada a uma potência. Vamos definir:
Isso significa que teremos que calcular a derivada de em relação a para substituir .

Passo 4

Calculando a derivada de dudx = -2x Rightarrow du = -2x , dx :
x , dx = -12 , du
Queremos isolar , então:

Passo 5

Substituindo integral x cdot (4 - x^2)^2/3 , dx = integral ( -12 ) cdot u^2/3 , du e - 12 integral u^2/3 , du na integral original:
Podemos tirar a constante para fora da integral:

Passo 6

Agora, vamos integrar integral u^n , du = u^n+1n+1 + C . Lembrando que:
integral u^2/3 , du = u^5/35/3 = 35 u^5/3
Aqui, , então:

Passo 7

Voltando à nossa integral com a constante:
- 12 cdot 35 u^5/3 + C = -310 u^5/3 + C
Agora, substituímos - 310 (4 - x^2)^5/3 + C de volta por :

Resposta

A integral - 310 (4 - x^2)^5/3 + C é igual a:

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