Valor (2,0 pontos) Verifique se os subconjuntos abaixo sẵo subespaços do espaço fetorial V. Justifique sua resposta
e

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear que pede para verificar se um certo conjunto é um subespaço do espaço vetorial . O espaço aqui é o conjunto de todas as matrizes 2x2 com números reais, representado por . O subconjunto é formado por matrizes 2x2 onde a soma dos elementos da primeira linha é igual a 1, ou seja:
Para resolver isso, precisamos lembrar o que é preciso para que seja um subespaço de . Basicamente, precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor nulo: A matriz zero deve estar em .
  2. Fechado na adição: Se pegarmos duas matrizes em e somarmos, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado na multiplicação por escalar: Se multiplicarmos uma matriz em por um número real, o resultado também deve estar em .
Vamos checar essas condições uma a uma para ver se é mesmo um subespaço de .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se contém o vetor nulo, ou seja, a matriz zero. A matriz zero em é:
Agora, vamos checar se essa matriz pertence a . Para isso, precisamos ver se a soma dos elementos da primeira linha é igual a 1:
Como não é igual a , a matriz zero não está em . Isso já nos dá uma resposta importante.

Passo 3

Mesmo que já tenhamos uma indicação de que pode não ser um subespaço, vamos analisar as outras condições para ter certeza.
Fechamento na adição:
Suponha que temos duas matrizes e em :
Vamos somar e :
A soma das elementos da primeira linha agora é:
Então, não está em , já que a soma das primeiras entradas não é mais igual a 1.
Fechamento na multiplicação por escalar:
Vamos pegar uma matriz em e multiplicar por um escalar :
A soma das primeiras entradas agora é:
Para que esteja em , precisaríamos que . Mas pode ser qualquer número real, então nem sempre estará em .

Resposta

Portanto, o conjunto não é um subespaço do espaço vetorial , pois não contém a matriz zero, nem é fechado na adição e na multiplicação por escalar.

Exercícios relacionados

Considere os seguintes subespaços de :
Ache uma base de ;
Encontrar a distância total percorrida pela particula , entre .
Encontre todas as funções tais que o campo vetorial
é conservativo.