Encontrar a distância total percorrida pela particula , entre .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a distância total percorrida por uma partícula cuja velocidade é dada por , no intervalo de tempo entre e . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo, especificamente integrais, e entender como a velocidade está relacionada à distância percorrida.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar que a distância total percorrida por uma partícula é obtida integrando a velocidade em relação ao tempo. Matemáticamente, isso é representado por:
â
Aqui, usamos o valor absoluto de porque a distância sempre é positiva, mesmo que a velocidade seja negativa em algum intervalo.

Passo 3

Vamos então identificar nossos limites de integração. O exercício nos dá e como os pontos inicial e final do intervalo de tempo. Portanto, e .

Passo 4

Agora, substituímos na integral:
â
Simplificando a constante:
â

Passo 5

Observamos que o cosseno é uma função que oscila entre -1 e 1. O valor absoluto de garante que estamos sempre somando valores positivos. Para integrar , precisamos identificar em quais intervalos é positivo ou negativo no nosso intervalo de integração.

Passo 6

O cosseno de qualquer ângulo é positivo quando o ângulo está no primeiro ou quarto quadrante e negativo no segundo e terceiro. Vamos resolver para encontrar os pontos onde a função muda de sinal:
Então, no intervalo de a , a função será positiva de a e negativa de a .

Passo 7

Com isso, podemos dividir a integral em duas partes onde a função é positiva e negativa:
â
Note que o segundo integral é subtraído porque é negativo nessa faixa, e o valor absoluto o torna positivo.

Passo 8

Vamos calcular cada integral separadamente. Primeiramente, a integral de é:
Agora, aplicamos os limites de integração:

Passo 9

Substituindo de volta na expressão da distância total:
â

Resposta

A distância total percorrida pela partícula entre e é unidades de distância.

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