Encontre todas as funções
tais que o campo vetorial
é conservativo.
Passo 1
Beleza! A gente tem um campo vetorial
e precisa descobrir todas as funções
que fazem esse campo ser conservativo. Isso entra no assunto de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial
é conservativo se existir uma função potencial
tal que
. Isso significa que:
Para isso acontecer, uma condição necessária é que as derivadas cruzadas sejam iguais:
Passo 3
Vamos identificar
e
no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular
:
Porque a derivada de
em relação a
é
e a derivada de
em relação a
é zero.
Passo 4
Sabemos que, para o campo ser conservativo:
Substituindo o que já temos:
Isso quer dizer que
deve ser igual a
.
Passo 5
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função qualquer que depende somente de
, já que a derivada em relação a
elimina qualquer termo que dependa apenas de
.
Resposta
Todas as funções
que tornam
conservativo são:
onde
é qualquer função que depende somente de
.