Encontre todas as funções tais que o campo vetorial
é conservativo.
Passo 1
Beleza! A gente tem um campo vetorial e precisa descobrir todas as funções que fazem esse campo ser conservativo. Isso entra no assunto de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial tal que . Isso significa que:
Para isso acontecer, uma condição necessária é que as derivadas cruzadas sejam iguais:
Passo 3
Vamos identificar e no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular :
Porque a derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é zero.
Passo 4
Sabemos que, para o campo ser conservativo:
Substituindo o que já temos:
Isso quer dizer que deve ser igual a .
Passo 5
Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função qualquer que depende somente de , já que a derivada em relação a elimina qualquer termo que dependa apenas de .