Encontre todas as funções tais que o campo vetorial
é conservativo.

Passo 1

Beleza! A gente tem um campo vetorial e precisa descobrir todas as funções que fazem esse campo ser conservativo. Isso entra no assunto de cálculo vetorial, especificamente sobre campos conservativos e funções potenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um campo conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial tal que . Isso significa que:
Para isso acontecer, uma condição necessária é que as derivadas cruzadas sejam iguais:

Passo 3

Vamos identificar e no nosso campo vetorial:
Agora, vamos calcular :
Porque a derivada de em relação a é e a derivada de em relação a é zero.

Passo 4

Sabemos que, para o campo ser conservativo:
Substituindo o que já temos:
Isso quer dizer que deve ser igual a .

Passo 5

Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função qualquer que depende somente de , já que a derivada em relação a elimina qualquer termo que dependa apenas de .

Resposta

Todas as funções que tornam conservativo são:
onde é qualquer função que depende somente de .

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