Considere os seguintes subespaços de R^3 :
W1=(x, y, z) in R^3: x+y=0 ; y-z=0 e W2=[(0,1,-1) ;(1,0,1)]
Ache uma base de W1 cap W2 e dim(W1 cap W2);

Passo 1

Então, a gente tem dois subespaços de , chamados e . O objetivo aqui é encontrar uma base para a interseção desses subespaços, , e determinar qual é a dimensão dessa interseção. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações e propriedades de subespaços.

Passo 2

Vamos começar analisando W1 = (x, y, z) in R^3 , | , x + y = 0; , y - z = 0 . Ele é definido pelas equações:
Isso significa que qualquer vetor em precisa satisfazer essas duas equações.

Passo 3

Agora, vamos resolver o sistema de equações que define x + y = 0 y - z = 0 :
Da primeira equação, temos . Da segunda, temos .

Passo 4

Com essas expressões, podemos escrever qualquer vetor em (x, y, z) = (-y, y, y) = y cdot (-1, 1, 1) em função de :
Isso mostra que todos os vetores em são múltiplos do vetor . Portanto, uma base para é e a dimensão de é 1.

Passo 5

Agora, vamos olhar para W2 = span, (0,1,-1), , (1,0,1) , :
Isso significa que é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores e .

Passo 6

Para encontrar a interseção y cdot (-1, 1, 1) = a cdot (0,1,-1) + b cdot (1,0,1) , precisamos encontrar os vetores que estão em ambos os subespaços. Ou seja, queremos encontrar os valores de , e tais que:

Passo 7

Vamos expandir essa igualdade nas componentes:
- y = 0 cdot a + 1 cdot b y = 1 cdot a + 0 cdot b y = -1 cdot a + 1 cdot b
Simplificando, temos:
- y = b y = a y = -a + b

Passo 8

Da segunda equação, sabemos que y = -y + b implies b = 2y . Substituindo isso na terceira equação:
2y = -y implies 3y = 0 implies y = 0
Mas da primeira equação, também temos . Então:
Com , então e .

Passo 9

Isso significa que o único vetor que está em ambos os subespaços é o vetor zero, ou seja:
W1 cap W2 = , (0, 0, 0) ,

Resposta

Uma base para é o conjunto vazio, já que a única solução é o vetor zero. Portanto, .

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