Então, a gente tem dois subespaços de , chamados e . O objetivo aqui é encontrar uma base para a interseção desses subespaços, , e determinar qual é a dimensão dessa interseção. Para isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, como sistemas de equações e propriedades de subespaços.
Passo 2
Vamos começar analisando . Ele é definido pelas equações:
Isso significa que qualquer vetor em precisa satisfazer essas duas equações.
Passo 3
Agora, vamos resolver o sistema de equações que define :
Da primeira equação, temos . Da segunda, temos .
Passo 4
Com essas expressões, podemos escrever qualquer vetor em em função de :
Isso mostra que todos os vetores em são múltiplos do vetor . Portanto, uma base para é e a dimensão de é 1.
Passo 5
Agora, vamos olhar para :
Isso significa que é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores e .
Passo 6
Para encontrar a interseção , precisamos encontrar os vetores que estão em ambos os subespaços. Ou seja, queremos encontrar os valores de , e tais que:
Passo 7
Vamos expandir essa igualdade nas componentes:
Simplificando, temos:
- y = b y = a y = -a + b
Passo 8
Da segunda equação, sabemos que y = -y + b implies b = 2y . Substituindo isso na terceira equação:
2y = -y implies 3y = 0 implies y = 0
Mas da primeira equação, também temos . Então:
Com , então e .
Passo 9
Isso significa que o único vetor que está em ambos os subespaços é o vetor zero, ou seja:
W1 cap W2 = , (0, 0, 0) ,
Resposta
Uma base para é o conjunto vazio, já que a única solução é o vetor zero. Portanto, .