Sejam e pontos em . Encontre a equação da reta que contém o ponto médio do segmento e é ortogonal a P Q
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois pontos no espaço tridimensional, e . O objetivo é encontrar a equação da reta que:
Passa pelo ponto médio do segmento que une e .
É ortogonal (perpendicular) ao vetor que vai de até .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço, como cálculo de ponto médio, vetores e equação de reta no espaço tridimensional. Vamos precisar calcular o ponto médio, determinar o vetor e então usar essas informações para definir a reta desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o ponto médio do segmento M = ( x1 + x22, y1 + y22, z1 + z22 ) . O ponto médio M = ( 2 + 72, 3 + 42, 2 + 12 ) = ( 92, 72, 32 ) entre dois pontos e é dado pela média das coordenadas correspondentes:
Aplicando isso aos pontos e :
Então, o ponto médio é .
Passo 3
Agora, vamos determinar o vetor PQ = Q - P = (7 - 2, 4 - 3, 1 - 2) = (5, 1, -1) . Esse vetor é obtido subtraindo as coordenadas de das coordenadas de :
Portanto, o vetor é .
Passo 4
A reta que estamos procurando deve ser ortogonal a v cdot PQ = 0 implies 5a + 1b - 1c = 0 , ou seja, o vetor diretor dessa reta deve ser perpendicular a .
Para que dois vetores sejam ortogonais, seu produto escalar deve ser zero. Vamos chamar o vetor diretor da reta de . Então, temos:
Isso nos dá uma equação que relaciona os componentes do vetor .
Passo 5
Precisamos agora escolher valores para 5(1) + 0 - c = 0 implies 5 - c = 0 implies c = 5 que satisfaçam a equação . Vamos escolher valores simples para facilitar.
Vamos supor que e . Então:
Portanto, um vetor que satisfaz essa condição é .
Passo 6
Com o ponto médio x = x0 + at y = y0 + bt z = z0 + ct e o vetor diretor x = 92 + 1 cdot t y = 72 + 0 cdot t z = 32 + 5 cdot t , podemos escrever a equação da reta no espaço tridimensional. A forma paramétrica da reta é dada por:
Onde é um ponto da reta e é o vetor diretor.
Substituindo os valores de e :
Resposta
A equação da reta que contém o ponto médio de x = dfrac92 + t y = dfrac72 z = dfrac32 + 5t e é ortogonal a é: