Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir a dimensão da soma dos subespaços no espaço . Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como subespaços, dimensão e soma de subespaços.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o subespaço . Ele é definido pelas equações:
Vamos resolver essas equações para expressar de uma forma mais simples.
Passo 3
Da primeira equação , podemos isolar :
Da segunda equação , isolamos :
Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito em termos de :
Então, é gerado pelo vetor .
Passo 4
Como é gerado por um único vetor, a dimensão de é:
Passo 5
Agora, vamos analisar o subespaço , que é gerado pelos vetores e :
Precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes.
Passo 6
Para isso, supomos que exista uma combinação linear desses vetores igual ao vetor zero:
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo, obtemos dim(W2) = 2 e . Portanto, os vetores são linearmente independentes, e a dimensão de é:
Passo 7
Agora, para encontrar a dimensão de dim(W1 + W2) = dim(W1) + dim(W2) - dim(W1 cap W2) , usamos a fórmula:
Já sabemos que e . Precisamos descobrir , ou seja, a dimensão da interseção dos dois subespaços.
Passo 8
Vamos encontrar quais vetores estão em y cdot (-1, 1, 1) = a cdot (0,1,-1) + b cdot (1,0,1) e também em - y = 0a + 1b y = 1a + 0b y = -1a + 1b . Os vetores em são da forma . Queremos ver se algum desses vetores pode ser expresso como combinação linear dos vetores em :
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, encontramos que a única solução é , ou seja, o vetor zero está na interseção.
Passo 9
Então, a interseção dim(W1 cap W2) = 0 contém apenas o vetor zero, o que significa que: