Considere os seguintes subespaços de R^3 :
W1=(x, y, z) in R^3: x+y=0 ; y-z=0 e W2=[(0,1,-1) ;(1,0,1)]
Qual a dimensão de W1+W2 ? Justifique sua resposta;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para descobrir a dimensão da soma dos subespaços no espaço . Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de álgebra linear, como subespaços, dimensão e soma de subespaços.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o subespaço x + y = 0 e y - z = 0 . Ele é definido pelas equações:
Vamos resolver essas equações para expressar de uma forma mais simples.

Passo 3

Da primeira equação x = -y , podemos isolar z = y :
(x, y, z) = (-y, y, y) = y cdot (-1, 1, 1)
Da segunda equação , isolamos :
Isso significa que qualquer vetor em pode ser escrito em termos de :
Então, é gerado pelo vetor .

Passo 4

Como dim(W1) = 1 é gerado por um único vetor, a dimensão de é:

Passo 5

Agora, vamos analisar o subespaço W2 = span(0,1,-1), (1,0,1) , que é gerado pelos vetores e :
Precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes.

Passo 6

Para isso, supomos que exista uma combinação linear desses vetores igual ao vetor zero:
a cdot (0,1,-1) + b cdot (1,0,1) = (0,0,0)
Isso resulta no sistema de equações:
0a + 1b = 0 1a + 0b = 0 -1a + 1b = 0
Resolvendo, obtemos dim(W2) = 2 e . Portanto, os vetores são linearmente independentes, e a dimensão de é:

Passo 7

Agora, para encontrar a dimensão de dim(W1 + W2) = dim(W1) + dim(W2) - dim(W1 cap W2) , usamos a fórmula:
Já sabemos que e . Precisamos descobrir , ou seja, a dimensão da interseção dos dois subespaços.

Passo 8

Vamos encontrar quais vetores estão em y cdot (-1, 1, 1) = a cdot (0,1,-1) + b cdot (1,0,1) e também em - y = 0a + 1b y = 1a + 0b y = -1a + 1b . Os vetores em são da forma . Queremos ver se algum desses vetores pode ser expresso como combinação linear dos vetores em :
Isso nos dá o sistema:
Resolvendo, encontramos que a única solução é , ou seja, o vetor zero está na interseção.

Passo 9

Então, a interseção dim(W1 cap W2) = 0 contém apenas o vetor zero, o que significa que:
dim(W1 + W2) = 1 + 2 - 0 = 3
Agora, aplicando na fórmula:

Resposta

A dimensão de é 3.

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