Considere os seguintes subespaços de
:
Encontre
subespaço do
tal que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta dois subespaços de
:
definido pelas equações
e
, e
gerado pelos vetores
e
. Nosso objetivo é encontrar um subespaço
tal que a soma direta de
com
dê todo o espaço
. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que é soma direta de subespaços e como identificar um complemento para
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar
. As equações que definem
são:
Podemos resolver esse sistema para expressar duas das variáveis em função de uma terceira. Vamos resolver para
e
em função de
.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Então, qualquer vetor em
pode ser escrito como:
Isso mostra que
é uma linha (subespaço unidimensional) em
, gerada pelo vetor
.
Passo 3
Agora, como
é unidimensional e
é tridimensional, precisamos de um subespaço
que seja de dimensão
(porque
) para que
. Porém, na verdade, para que a soma seja direta,
deve ser complementar a
, ou seja, não ter nenhuma interseção com
além do vetor zero.
Passo 4
Vamos escolher
de forma que ele complemente
. Uma maneira simples é escolher vetores que não estejam em
. Vamos olhar para os vetores que geram
:
Vamos verificar se esses vetores estão em
. Para um vetor estar em
, deve satisfazer
e
.
Para
:
Para
:
Ambos os vetores não estão em
, então eles podem ser usados para gerar
.
Passo 5
Como
é gerado por dois vetores que não estão em
, e eles são linearesmente independentes (você pode verificar calculando o determinante ou vendo que não são múltiplos um do outro),
é um subespaço bidimensional que complementa
. Portanto, podemos definir
como sendo
.
Resposta
Um subespaço
que satisfaz
é dado por: