Considere os seguintes subespaços de R^3 :
W1=(x, y, z) in R^3: x+y=0 ; y-z=0 e W2=[(0,1,-1) ;(1,0,1)]
Encontre U subespaço do R^3 tal que W1 oplus U=R^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta dois subespaços de R^3: W1 definido pelas equações x + y = 0 e y - z = 0, e W2 gerado pelos vetores (0,1,-1) e (1,0,1). Nosso objetivo é encontrar um subespaço U tal que a soma direta de W1 com U dê todo o espaço R^3. Para resolver isso, vamos precisar entender bem o que é soma direta de subespaços e como identificar um complemento para W1.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar W1. As equações que definem W1 são:
x + y = 0 e y - z = 0
Podemos resolver esse sistema para expressar duas das variáveis em função de uma terceira. Vamos resolver para x e z em função de y.
Da primeira equação: x = -y
Da segunda equação: z = y
Então, qualquer vetor em W1 pode ser escrito como:
(x, y, z) = (-y, y, y) = y cdot (-1, 1, 1)
Isso mostra que W1 é uma linha (subespaço unidimensional) em R^3, gerada pelo vetor (-1, 1, 1).

Passo 3

Agora, como W1 é unidimensional e R^3 é tridimensional, precisamos de um subespaço U que seja de dimensão 2 (porque 1 + 2 = 3) para que W1 oplus U = R^3. Porém, na verdade, para que a soma seja direta, U deve ser complementar a W1, ou seja, não ter nenhuma interseção com W1 além do vetor zero.

Passo 4

Vamos escolher U de forma que ele complemente W1. Uma maneira simples é escolher vetores que não estejam em W1. Vamos olhar para os vetores que geram W2:
W2 = span(0,1,-1), (1,0,1)
Vamos verificar se esses vetores estão em W1. Para um vetor estar em W1, deve satisfazer x + y = 0 e y - z = 0.
Para (0,1,-1):
0 + 1 = 1 neq 0 (não está em W1) ãá
Para (1,0,1):
1 + 0 = 1 neq 0 (não está em W1) ãá
Ambos os vetores não estão em W1, então eles podem ser usados para gerar U.

Passo 5

Como W2 é gerado por dois vetores que não estão em W1, e eles são linearesmente independentes (você pode verificar calculando o determinante ou vendo que não são múltiplos um do outro), W2 é um subespaço bidimensional que complementa W1. Portanto, podemos definir U como sendo W2.

Resposta

Um subespaço U que satisfaz W1 oplus U = R^3 é dado por:
U = span, (0,1,-1), (1,0,1) ,

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