(2,0) Encontre a interseção dos planos
pi1: x-y+z+1=0 e
pi2: x+y-z-1=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a interseção dos planos e . Isso envolve trabalhar com geometria analítica e sistemas de equações lineares. Para isso, vamos resolver o sistema formado pelas duas equações dos planos.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações dos planos de forma mais clara:
pi1: x - y + z + 1 = 0
pi2: x + y - z - 1 = 0
Nossa missão é encontrar os valores de , e que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo.

Passo 3

Para resolver esse sistema, podemos usar o método da soma ou eliminação. Vamos somar as duas equações para eliminar o (x - y + z + 1) + (x + y - z - 1) = 0 + 0 . Vamos lá:
2x + 0y + 0z + 0 = 0
Simplificando:
2x = 0 implies x = 0
Então, descobrimos que .

Passo 4

Agora que sabemos que 0 - y + z + 1 = 0 , vamos substituir esse valor em uma das equações originais para encontrar uma relação entre -z + y = 1 implies y = z + 1 e . Vou usar a primeira equação :
Então, temos que .

Passo 5

Como só temos uma equa��ão com duas variáveis ( e ), isso significa que a interseção dos planos não é um ponto único, mas sim uma reta. Para descrever essa reta, podemos expressar e em termos de um parâmetro, digamos .
Vamos definir . Então, de , temos . E já sabemos que .

Passo 6

Com isso, podemos escrever a equação paramétrica da reta de interseção:
x = 0
y = t + 1
z = t
Onde é um parâmetro real que pode assumir qualquer valor.

Resposta

A interseção dos planos x = 0 y = t + 1 z = t e é a reta descrita por:
Onde pertence aos números reais.

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