Verifique que o conjunto B=1, x+1, x^2+1, x^3 é uma base de V=P3(R) e determine as coordenadas de x^2+x^3 na base B.

Passo 1

Então, galera, o que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear. A tarefa é dupla: primeiro, precisamos verificar se o conjunto é uma base para o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Depois, temos que encontrar as coordenadas do polinômio nessa base . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, verificar se os vetores são linearmente independentes e se geram todo o espaço, e então expressar o polinômio dado como combinação linear dos elementos de .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma base. Em Álgebra Linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Para o espaço , que tem dimensão 4 (porque um polinômio de grau 3 tem 4 coeficientes: ), precisamos de 4 polinômios que atendam a essas condições.

Passo 3

Vamos verificar se os elementos de c1 cdot 1 + c2 cdot (x + 1) + c3 cdot (x^2 + 1) + c4 cdot x^3 = 0 são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Para isso, montamos uma equação:
c4 = 0 (x^3 termo)
Isso deve ser válido para todo x, então vamos igualar os coeficientes de potências iguais de x a zero:
c3 = 0 (x^2 termo)
c2 = 0 (x termo)
c1 + c2 + c3 = 0 (termo constante)
Já vimos que são zero, então também deve ser zero. Isso mostra que os vetores são linearmente independentes.

Passo 4

Como tem 4 polinômios e tem dimensão 4, e já mostramos que os vetores de são linearmente independentes, podemos concluir que é uma base de .

Passo 5

Agora, vamos encontrar as coordenadas de x^2 + x^3 = a cdot 1 + b cdot (x + 1) + c cdot (x^2 + 1) + d cdot x^3 na base x^2 + x^3 = a + b x + b + c x^2 + c + d x^3 . Isso significa que queremos expressar x^3 + x^2 = (a + b + c) + b x + c x^2 + d x^3 como uma combinação linear dos elementos de d = 1 (x^3 termo) c = 1 (x^2 termo) b = 0 (x termo) a + b + c = 0 (termo constante) :
a + 0 + 1 = 0 implies a = -1
Vamos reorganizar e igualar os coeficientes:
Agrupando os termos:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de x:
Substituindo e na última equação:

Resposta

As coordenadas de na base são .

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