Verifique que o conjunto é uma base de e determine as coordenadas de na base .
Passo 1
Então, galera, o que a gente tem aqui é um exercício de Álgebra Linear. A tarefa é dupla: primeiro, precisamos verificar se o conjunto é uma base para o espaço , que é o conjunto de todos os polinômios de grau no máximo 3 com coeficientes reais. Depois, temos que encontrar as coordenadas do polinômio nessa base . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma base, verificar se os vetores são linearmente independentes e se geram todo o espaço, e então expressar o polinômio dado como combinação linear dos elementos de .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma base. Em Álgebra Linear, uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. Para o espaço , que tem dimensão 4 (porque um polinômio de grau 3 tem 4 coeficientes: ), precisamos de 4 polinômios que atendam a essas condições.
Passo 3
Vamos verificar se os elementos de são linearmente independentes. Isso significa que a única combinação linear que dá o vetor zero é aquela em que todos os coeficientes são zero. Para isso, montamos uma equação:
Isso deve ser válido para todo x, então vamos igualar os coeficientes de potências iguais de x a zero:
Já vimos que são zero, então também deve ser zero. Isso mostra que os vetores são linearmente independentes.
Passo 4
Como tem 4 polinômios e tem dimensão 4, e já mostramos que os vetores de são linearmente independentes, podemos concluir que é uma base de .
Passo 5
Agora, vamos encontrar as coordenadas de na base . Isso significa que queremos expressar como uma combinação linear dos elementos de :
Vamos reorganizar e igualar os coeficientes:
Agrupando os termos:
Agora, igualamos os coeficientes de cada potência de x: