Verifique se os subeonjutos abuixo săo subespaģos do espaç vetomial V. Justifique sua resposta V=R^3 e W=(x, y, z) in V: x+2 y=0 e x-z=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se o conjunto é um subespaço do espaço vetorial . Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear sobre subespaços. Vamos precisar lembrar quais são as condições que definem um subespaço e aplicar isso no conjunto que é definido pelas equações e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Um subespaço de precisa satisfazer três condições:
  1. Contém o vetor zero: o vetor precisa estar em .
  2. Fechado sob adição: se você pegar dois vetores quaisquer em e somar, o resultado também deve estar em .
  3. Fechado sob multiplicação por escalar: se você pegar um vetor em e multiplicar por um número qualquer (escalar), o resultado também deve estar em .
Vamos verificar essas condições uma a uma para o conjunto .

Passo 3

1. Verificando se o vetor zero está em 0 + 2 cdot 0 = 0 e 0 - 0 = 0 :
O vetor zero é . Vamos ver se ele satisfaz as equações que definem .
Substituindo , , e nas equações:
Ambas as equações são verdadeiras, então o vetor zero está em .

Passo 4

2. Verificando se x1 + 2y1 = 0 e x1 - z1 = 0 é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em x2 + 2y2 = 0 e x2 - z2 = 0 . Seja u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e (x1 + x2) + 2(y1 + y2) = (x1 + 2y1) + (x2 + 2y2) = 0 + 0 = 0 em (x1 + x2) - (z1 + z2) = (x1 - z1) + (x2 - z2) = 0 + 0 = 0 . Isso significa que:
Agora, vamos somar e :
Vamos verificar se esse vetor somado também satisfaz as equações de :
Como as duas equações são verdadeiras para , é fechado sob adição.

Passo 5

3. Verificando se x + 2y = 0 e x - z = 0 é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer ku = (kx, ky, kz) em kx + 2(ky) = k(x + 2y) = k cdot 0 = 0 e um escalar kx - kz = k(x - z) = k cdot 0 = 0 . Já que está em , temos:
Agora, multiplicamos por :
Vamos verificar se esse vetor multiplicado também satisfaz as equações de :
Como as duas equações são verdadeiras para , é fechado sob multiplicação por escalar.

Resposta

Sim, é um subespaço de , pois satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço.

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