Verifique se os subeonjutos abuixo săo subespaģos do espaç vetomial V. Justifique sua resposta
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa verificar se o conjunto
é um subespaço do espaço vetorial
. Para isso, vamos usar alguns conceitos de álgebra linear sobre subespaços. Vamos precisar lembrar quais são as condições que definem um subespaço e aplicar isso no conjunto
que é definido pelas equações
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço. Um subespaço de
precisa satisfazer três condições:
- Contém o vetor zero: o vetor
precisa estar em . - Fechado sob adição: se você pegar dois vetores quaisquer em
e somar, o resultado também deve estar em . - Fechado sob multiplicação por escalar: se você pegar um vetor em
e multiplicar por um número qualquer (escalar), o resultado também deve estar em .
Vamos verificar essas condições uma a uma para o conjunto
.
Passo 3
1. Verificando se o vetor zero está em
:
O vetor zero é
. Vamos ver se ele satisfaz as equações que definem
.
Substituindo
,
, e
nas equações:
Ambas as equações são verdadeiras, então o vetor zero está em
.
Passo 4
2. Verificando se
é fechado sob adição:
Vamos pegar dois vetores quaisquer em
. Seja
e
em
. Isso significa que:
Agora, vamos somar
e
:
Vamos verificar se esse vetor somado também satisfaz as equações de
:
Como as duas equações são verdadeiras para
,
é fechado sob adição.
Passo 5
3. Verificando se
é fechado sob multiplicação por escalar:
Vamos pegar um vetor qualquer
em
e um escalar
. Já que
está em
, temos:
Agora, multiplicamos
por
:
Vamos verificar se esse vetor multiplicado também satisfaz as equações de
:
Como as duas equações são verdadeiras para
,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Resposta
Sim,
é um subespaço de
, pois satisfaz todas as condições necessárias para ser um subespaço.