Considere os seguintes subespaços vetoriais U e V de R^3 :
U=(x, y, z) in R^3 mid x+y=0 e V=(x, y, z) in R^3 mid z=0.
Determine:
c) U+V é soma direta? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois subespaços vetoriais de :
A pergunta é: é uma soma direta? Justifique.
Para resolver isso, precisamos entender o que é soma direta de subespaços vetoriais. Básicamente, a soma direta ocorre quando cada vetor em pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de e um vetor de . Isso acontece se, e somente se, a interseção dos subespaços e é apenas o vetor zero, ou seja, .
Então, vamos seguir os passos para verificar isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa U + V = u + v mid u in U, v in V . A soma de dois subespaços u = (x, -x, z) e v = (x, y, 0) é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos somando um vetor de com um vetor de :
Vamos descrever e de forma mais detalhada.
Para , temos . Isso significa que . Então, podemos escrever qualquer vetor em como:
Aqui, e são quaisquer números reais.
Para , a condição é . Então, qualquer vetor em é:
Aqui, e são quaisquer números reais.

Passo 3

Agora, vamos determinar a interseção w = (x, -x, 0) . Isso significa encontrar todos os vetores que estão tanto em quanto em .
Seja um vetor em . Então, ele deve satisfazer ambas as condições:
  1. (porque está em )
  2. (porque está em )
Portanto, qualquer vetor em tem a forma:
Agora, queremos ver se esse vetor pode ser diferente do vetor zero ou não.

Passo 4

Vamos verificar se existem vetores não nulos em x = 0 e -x = 0 .
Considere w = (0, 0, 0) . Para que seja o vetor zero, precisamos que:
Isso implica que . Então, o único vetor que satisfaz essas condições é:
Ou seja, a única solução é o vetor zero.

Resposta

Sim, é uma soma direta, pois a interseção contém apenas o vetor zero.

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