Considere os seguintes subespaços vetoriais
e
de
:
e
.
Determine:
c)
é soma direta? Justifique.
Determine:
c)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos dois subespaços vetoriais de
:
A pergunta é:
é uma soma direta? Justifique.
Para resolver isso, precisamos entender o que é soma direta de subespaços vetoriais. Básicamente, a soma direta
ocorre quando cada vetor em
pode ser escrito de forma única como a soma de um vetor de
e um vetor de
. Isso acontece se, e somente se, a interseção dos subespaços
e
é apenas o vetor zero, ou seja,
.
Então, vamos seguir os passos para verificar isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
. A soma de dois subespaços
e
é o conjunto de todos os vetores que podem ser obtidos somando um vetor de
com um vetor de
:
Vamos descrever
e
de forma mais detalhada.
Para
, temos
. Isso significa que
. Então, podemos escrever qualquer vetor em
como:
Aqui,
e
são quaisquer números reais.
Para
, a condição é
. Então, qualquer vetor em
é:
Aqui,
e
são quaisquer números reais.
Passo 3
Agora, vamos determinar a interseção
. Isso significa encontrar todos os vetores que estão tanto em
quanto em
.
Seja
um vetor em
. Então, ele deve satisfazer ambas as condições:
-
(porque está em ) -
(porque está em )
Portanto, qualquer vetor em
tem a forma:
Agora, queremos ver se esse vetor pode ser diferente do vetor zero ou não.
Passo 4
Vamos verificar se existem vetores não nulos em
.
Considere
. Para que
seja o vetor zero, precisamos que:
Isso implica que
. Então, o único vetor que satisfaz essas condições é:
Ou seja, a única solução é o vetor zero.
Resposta
Sim,
é uma soma direta, pois a interseção
contém apenas o vetor zero.