Responda Falso ou Verdadeiro, justificando sua resposta:
f) A interseção de dois planos arbitrários do é um subespaço vetorial do
;
f) A interseção de dois planos arbitrários do é um subespaço vetorial do
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente dizer se a interseção de dois planos quaisquer no espaço tridimensional (
) é um subespaço vetorial. Estamos trabalhando com conceitos de álgebra linear, especificamente sobre subespaços vetoriais e interseções de planos. Vamos precisar entender o que é um subespaço vetorial e como funciona a interseção de planos no espaço 3D.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subespaço vetorial de
é um conjunto de vetores que satisfaz três propriedades: contém o vetor zero, é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar. Ou seja, se você tem dois vetores no subespaço e soma eles, o resultado também está no subespaço. O mesmo vale se você multiplicar um vetor do subespaço por qualquer número real.
Passo 3
Agora, pensando nos planos no
, cada plano pode ser representado por uma equação linear. A interseção de dois planos arbitrários pode ser:
- Um ponto: se os planos se cruzam em apenas um ponto.
- Uma linha: se os planos são distintos mas se intersectam ao longo de uma linha.
- O próprio plano: se os dois planos são coincidentes (ou seja, são o mesmo plano).
Passo 4
Vamos analisar cada caso para ver se a interseção é um subespaço vetorial:
- Interseção é um ponto: Um único ponto não é um subespaço vetorial, porque não satisfaz as propriedades de fechamento (por exemplo, somar dois pontos diferentes não necessariamente resulta em um ponto dentro do conjunto).
- Interseção é uma linha: Uma linha que passa pela origem (vetor zero) é um subespaço vetorial, pois satisfaz as três propriedades. Mas se a linha não passa pela origem, não é um subespaço vetorial.
- Interseção é o próprio plano: Um plano que passa pela origem é um subespaço vetorial, mas se não passar pela origem, também não é.
Passo 5
Como os planos são arbitrários, eles podem ou não passar pela origem. Portanto, a interseção de dois planos arbitrários pode ser:
- Um subespaço vetorial (se a interseção for uma linha que passa pela origem ou um plano que passa pela origem).
- Um conjunto que não é subespaço vetorial (se a interseção for um ponto ou uma linha/plano que não passe pela origem).
Passo 6
Dado que nem sempre a interseção de dois planos arbitrários é um subespaço vetorial, a afirmação não é necessariamente verdadeira em todos os casos.
Resposta
Falso. A interseção de dois planos arbitrários em
nem sempre forma um subespaço vetorial. Isso acontece porque, dependendo dos planos, a interseção pode ser uma linha que não passa pela origem, um ponto ou até mesmo o próprio plano, nem todos esses casos satisfazem as propriedades de um subespaço vetorial.