Exercício 10 Seja definido como . Determine o polinômio minimal de quando e .
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma transformação linear definida por . Nosso objetivo é determinar o polinômio minimal de para dois casos diferentes: quando e quando .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de álgebra linear, especialmente relacionados a transformações lineares, matrizes associadas e polinômios característicos e minimais. O polinômio minimal é o menor polinômio monico que anula a transformação .
Passo 2
Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. A transformação dada é:
Isso pode ser representado pela matriz:
Passo 3
Agora, vamos determinar o polinômio característico de A - tI = lambda - t & a & 0 0 & lambda - t & a 0 & 0 & lambda - t , que é dado por det(A - tI) = (lambda - t)^3 , onde é a matriz identidade e é uma variável.
Calculando o determinante:
O polinômio característico é .
Passo 4
O polinômio minimal divide o polinômico característico e tem os mesmos fatores, mas com multiplicidades menores ou iguais. Para matrizes triangulares como a nossa, se os elementos na diagonal são iguais e os elementos fora da diagonal que podem gerar valores diferentes são zero (quando A = lambda & 0 & 0 0 & lambda & 0 0 & 0 & lambda ), o polinômio minimal pode ser mais simples.
Vamos analisar os dois casos:
Caso 1: A = lambda & a & 0 0 & lambda & a 0 & 0 & lambda
Quando (A - lambda I)^2 = 0 & a & 0 0 & 0 & a 0 & 0 & 0 ^2 = 0 & 0 & a^2 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 , nossa matriz (A - lambda I)^3 = 0 fica:
Essa é uma matriz diagonal com todos os elementos diagonais iguais a . Nesse caso, é igual a , onde é a identidade. O polinômio minimal é simplesmente , já que .
Caso 2:
Quando , nossa matriz é:
Para esse caso, precisamos verificar se o polinômio minimal ainda é de primeiro grau ou se precisa de um grau maior. Observando a matriz, vemos que ela não é diagonal, e há elementos acima da diagonal. Isso indica que não será zero. De fato:
E:
Portanto, o polinômio minimal para é .
Resposta
O polinômio minimal de mT(t) = t - lambda, & quando a = 0 (t - lambda)^3, & quando a neq 0 é: