Considere os seguintes subespaços vetorias do espaço vetorial real :
Determine bases e as dimensões dos seguintes subespaços vetoriais do espaço vetorial real :
Passo 1
Beleza! A gente tem um exercício que fala sobre subespaços vetoriais no espaço tridimensional . A missão aqui é encontrar as bases e as dimensões dos subespaços , , e . Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear, independência linear e sistemas de equações. Vamos por partes!
Passo 2
Vamos começar com o subespaço , que é definido como o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores e . Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que geram o subespaço e que são linearmente independentes.
Primeiro, precisamos checar se os vetores que geram são linhas independentes. Para isso, vamos ver se uma combinação linear deles dá o vetor zero apenas quando os coeficientes são zero.
Vamos montar a equação:
Isso resulta no sistema de equações:
Resolvendo esse sistema, vemos que a única solução é a = 0 e b = 0, o que significa que os vetores são linearmente independentes.
Como temos dois vetores independentes que geram S, a base de S é (1, -1, 2), (2, 1, 1) e a dimensão de S é 2.
Passo 3
Agora vamos para o subespaço T, que é gerado pelos vetores (0, 1, -1) e (1, 2, 1). Assim como fizemos com S, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes.
Montamos a equação:
c(0, 1, -1) + d(1, 2, 1) = (0, 0, 0)
Que nos dá o sistema:
0c + d = 0 c + 2d = 0 - c + d = 0
Resolvendo, encontramos que a única solução é c = 0 e d = 0, então os vetores são independentes.
Portanto, a base de T é (0, 1, -1), (1, 2, 1) e a dimensão de T também é 2.
Passo 4
Vamos para o subespaço U, que é definido pelas equações x + y = 4 e x - z = 0. Para encontrar uma base de U, precisamos expressar os vetores em termos de parâmetros livres.
Primeiro, resolvemos as equações para expressar duas variáveis em termos de uma:
Da segunda equação, temos x = z.
Substituindo x = z na primeira equação: z + y = 4 → y = 4 - z.
Então, podemos escrever um vetor qualquer de U como:
(z, 4 - z, z) = z(1, -1, 1) + (0, 4, 0)
Aqui, o vetor (1, -1, 1) é um gerador de U, mas precisamos verificar se ele é linearmente independente. Como temos apenas um vetor, ele é independente por definição.
Portanto, a base de U é (1, -1, 1) e a dimensão de U é 1.
Passo 5
Por fim, vamos analisar o subespaço V, definido pela equação 3x - y - z = 0. Para encontrar a base de V, vamos expressar dois das variáveis em termos da terceira.
Vamos resolver para y:
y = 3x - z
Podemos escolher x e z como parâmetros livres. Assim, um vetor em V pode ser escrito como:
(x, 3x - z, z) = x(1, 3, 0) + z(0, -1, 1)
Aqui, os vetores (1, 3, 0) e (0, -1, 1) são geradores de V. Vamos checar se eles são linearmente independentes.