Considere os seguintes subespaços vetorias do espaço vetorial real (R^3,+, cdot) :
S doteq[(1,-1,2),(2,1,1)], & T doteq[(0,1,-1),(1,2,1)] U doteq(x, y, z) ; x+y=4 x-z=0 & e V doteq(x, y, z) ; 3 x-y-z=0
Determine bases e as dimensões dos seguintes subespaços vetoriais do espaço vetorial real (R^3,+, cdot) :

Passo 1

Beleza! A gente tem um exercício que fala sobre subespaços vetoriais no espaço tridimensional R^3. A missão aqui é encontrar as bases e as dimensões dos subespaços S, T, U e V. Para isso, vamos usar conceitos de combinação linear, independência linear e sistemas de equações. Vamos por partes!

Passo 2

Vamos começar com o subespaço S, que é definido como o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores (1, -1, 2) e (2, 1, 1). Uma base de um subespaço é um conjunto de vetores que geram o subespaço e que são linearmente independentes.
Primeiro, precisamos checar se os vetores que geram S são linhas independentes. Para isso, vamos ver se uma combinação linear deles dá o vetor zero apenas quando os coeficientes são zero.
Vamos montar a equação:
a(1, -1, 2) + b(2, 1, 1) = (0, 0, 0)
Isso resulta no sistema de equações:
a + 2b = 0 - a + b = 0 2a + b = 0
Resolvendo esse sistema, vemos que a única solução é a = 0 e b = 0, o que significa que os vetores são linearmente independentes.
Como temos dois vetores independentes que geram S, a base de S é (1, -1, 2), (2, 1, 1) e a dimensão de S é 2.

Passo 3

Agora vamos para o subespaço T, que é gerado pelos vetores (0, 1, -1) e (1, 2, 1). Assim como fizemos com S, precisamos verificar se esses vetores são linearmente independentes.
Montamos a equação:
c(0, 1, -1) + d(1, 2, 1) = (0, 0, 0)
Que nos dá o sistema:
0c + d = 0 c + 2d = 0 - c + d = 0
Resolvendo, encontramos que a única solução é c = 0 e d = 0, então os vetores são independentes.
Portanto, a base de T é (0, 1, -1), (1, 2, 1) e a dimensão de T também é 2.

Passo 4

Vamos para o subespaço U, que é definido pelas equações x + y = 4 e x - z = 0. Para encontrar uma base de U, precisamos expressar os vetores em termos de parâmetros livres.
Primeiro, resolvemos as equações para expressar duas variáveis em termos de uma:
  1. Da segunda equação, temos x = z.
  2. Substituindo x = z na primeira equação: z + y = 4 y = 4 - z.
Então, podemos escrever um vetor qualquer de U como:
(z, 4 - z, z) = z(1, -1, 1) + (0, 4, 0)
Aqui, o vetor (1, -1, 1) é um gerador de U, mas precisamos verificar se ele é linearmente independente. Como temos apenas um vetor, ele é independente por definição.
Portanto, a base de U é (1, -1, 1) e a dimensão de U é 1.

Passo 5

Por fim, vamos analisar o subespaço V, definido pela equação 3x - y - z = 0. Para encontrar a base de V, vamos expressar dois das variáveis em termos da terceira.
Vamos resolver para y:
y = 3x - z
Podemos escolher x e z como parâmetros livres. Assim, um vetor em V pode ser escrito como:
(x, 3x - z, z) = x(1, 3, 0) + z(0, -1, 1)
Aqui, os vetores (1, 3, 0) e (0, -1, 1) são geradores de V. Vamos checar se eles são linearmente independentes.
Supondo que a(1, 3, 0) + b(0, -1, 1) = (0, 0, 0), temos:
a = 0 3a - b = 0 b = 0
A única solução é a = 0 e b = 0, então os vetores são independentes.
Portanto, a base de V é (1, 3, 0), (0, -1, 1) e a dimensão de V é 2.

Resposta

  • Base de S: (1, -1, 2), (2, 1, 1)
    Dimensão de S: 2
  • Base de T: (0, 1, -1), (1, 2, 1)
    Dimens��o de T: 2
  • Base de U: (1, -1, 1)
    Dimensão de U: 1
  • Base de V: (1, 3, 0), (0, -1, 1)
    Dimensão de V: 2

Exercícios relacionados

u oplus v doteq u v e alpha odot u doteq u^alpha
(a) Mostre que (V,+,. ) é um espaço vetorial sobre Réç.
Assinale V ou F
Temos a seguinte sequência de subgrupos:
(Q *,+)<(R *,+)<(C *,+)
Escolha uma opção:
Verdadeiro
Falso
Ache uma base e a dimensão do subespaço vetorial W do espaço vetorial real (mathscrP(R),+, cdot), que é gerado pelos seguintes polinômios:
Mostre que os subconjuntos W1, W2 subseteq R^3, dados por
W1 doteq(x, y, z) in R^3 ; 2 x-3 y+4 z=0 e W2 doteq(x, y, z) in R^3 ; 3 x+2 y-5 z=0
são subespaços vetoriais do espaço vetorial real (R^3,+, cdot). Encontre bases para os subespaços vetorial W1 e W2. Quais são as dimensões dos subespaços vetoriais W1 e W2 ? Ache um vetor v in W1 cap W2 backslashO.